Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và những kiến thức cần biết

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác dưới đây là một trong những công thức quan trọng mà học sinh lớp 12 cần ghi nhớ để có thể áp dụng tính toán các bài toán liên quan đến đường tròn ngoại tiếp tam giác nhanh nhất và cho kết quả chính xác. Trong đề thi THPT quốc gia môn toán, số lượng công thức cần học thuộc lòng chiếm tỷ lệ không nhỏ. Đối với hình thức thi trắc nghiệm, yêu cầu học sinh phải có kiến ​​thức sâu rộng và cách giải nhanh hiệu quả để đạt điểm cao nhất. Dưới đây là công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đầy đủ, mời các bạn đón đọc. Ngoài ra các bạn có thể xem thêm bộ đề thi thử THPT quốc gia môn toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT quốc gia môn toán.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là độ dài từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tới một trong các đỉnh của tam giác. Đây là một thông số quan trọng trong tam giác và có thể được tính bằng cách sử dụng các độ dài các cạnh của tam giác.

Bạn đang xem: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và những kiến thức cần biết

Công thức tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

Trong đó:

• a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
• K là diện tích của tam giác, có thể tính bằng công thức Heron hoặc sử dụng các phép tính khác tùy thuộc vào thông tin mà bạn có về tam giác.

Lưu ý rằng đối với tam giác vuông, đường tròn ngoại tiếp chính là đường tròn ngoại tiếp đối diện cạnh huyền.

1. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC

Cách 1: Sử dụng công thức diện tích tam giác

Cách 2: Sử dụng định lí Sin trong tam giác

Ta có:

Cách 3: Tính chất của tam giác vuông

– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

Cách 4: Sử dụng hệ tọa độ

– Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

– Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)

– Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm: R = OA = OB = OC

*Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Một tam giác đều là tam giác có cả ba cạnh và ba góc bằng nhau. Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều chính bằng độ dài một cạnh của tam giác đó.

Xem thêm : Tỉnh duy nhất thuộc Đồng bằng sông Hồng vừa giáp biển vừa giáp Trung Quốc?

Do tam giác đều có các cạnh bằng nhau, ta có thể sử dụng công thức sau để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều:

Trong đó:

• r là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều.
• a là độ dài một cạnh của tam giác đều.

Chú ý rằng công thức này chỉ áp dụng được cho các tam giác đều. Nếu tam giác không phải tam giác đều, bạn cần sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác như đã trình bày trong câu trả lời trước đó.

2. Ví dụ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD có , BC = 2AD = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, M là trung điểm của HC. Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM.

Gợi ý trả lời

Vẽ hình:

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác HBC => MN ⊥ AB

Mặt khác BH ⊥ AM

=> N là trực tâm của tam giác ABM

=> AN ⊥ BM

Do => MN //= AD

Nên ADMN là hình bình hành => AN // DM

Từ đó ta có: DM ⊥ MB hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD

Ta có:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

Theo công thức Hê – rông, diện tích tam giác A B C là:

Xem thêm : Khám phá tất tần tật về quả roi (quả mận miền Nam) – loại trái cây ngọt lành, hấp dẫn

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

3. Bài tập tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1; AC = 4. Gọi M là trung điểm AC.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính R1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM.

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 10. Gọi (I) là đường tròn có tâm I thuộc cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Biết đường tròn (I) có bán kính bằng 3 và 2IB = 3IC. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, Ab = 5cm, AC = 12cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Bài 5: Cho hình vuông ACBD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM và DN

a) Tính số đo góc CEN

b) Chứng minh 4 điểm A, D, E, M thuộc cùng 1 đường tròn.

c) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đi qua ba điểm B, D, E,.

Bài 6; Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

4. Mọi người cũng hỏi

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Trả lời: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là đoạn thẳng nối từ tâm đường tròn ngoại tiếp tới một trong ba đỉnh của tam giác. Nó có cùng độ dài với các bán kính đường tròn ngoại tiếp tới hai đỉnh còn lại của tam giác.

Làm thế nào để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác?

Trả lời: Để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta sử dụng công thức: R = (a * b * c) / (4 * diện tích tam giác ABC), trong đó a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác, và diện tích tam giác tính bằng công thức Heron.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có quan trọng trong hình học không?

Trả lời: Có, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là một yếu tố quan trọng trong hình học, giúp xác định vị trí của tâm đường tròn ngoại tiếp và tạo ra mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có mối liên hệ gì với các đỉnh và đường giữa của tam giác?

Trả lời: Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm chính là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác. Điều này có nghĩa là đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp. Bên cạnh đó, các đỉnh của tam giác cũng đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp và bán kính ngoại tiếp chính là khoảng cách từ các đỉnh đến tâm đường tròn ngoại tiếp.

Như vậy, khái niệm về bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác không chỉ đơn thuần là một khái niệm trong sách giáo khoa, mà nó là cơ sở để ta hiểu thêm về những tính chất đặc biệt của tam giác và đường tròn. Việc nắm vững khái niệm này sẽ giúp chúng ta khám phá ra nhiều tính chất hình học khác, từ đó củng cố kiến thức và kỹ năng trong lĩnh vực hình học.

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp