Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc (2024) chi tiết nhất

1. Phương pháp giải

Khái niệm hai đường thẳng vuông góc

– Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc.

Bạn đang xem: Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc (2024) chi tiết nhất

Kí hiệu: xx’ yy’

Tính chất

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Đường thẳng a và điểm O cho trước, khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng b qua O và vuông góc với a

Đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Cho đoạn thẳng AB đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB (hình vẽ trên) thì ta nói d là đường trung trực của AB.

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng vuông góc:

Dấu hiệu 1: Dựa vào định nghĩa

Dấu hiệu 2: Dựa vào quan hệ từ vuông góc đến song song.

Cho hai đường thẳng phân biệt a và b song song với nhau. Khi đó đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a thì đường thẳng c cũng vuông góc vói đường thẳng b.

Ta có công thức:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho = 1200. Vẽ các tia Oz và Ot nằm trong góc sao cho Oz vuông góc với Ox, Ot vuông góc với Oy

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho =1000 . Vẽ về phía ngoài của góc hai tia Oz và Ot sao cho Oz và Ot lần lượt vuông góc với Ox và Oy. Gọi Om là tia phân giác của góc và Om’ là tia đối của tia Om.

Chứng minh Om’ là tia phân giác của góc

Lời giải:

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng .

Giải

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD ta được:

Gọi I là giao điểm của AM và BN.

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác vuông ABM và BCN, kết quả của hai tam giác bằng nhau, ta được:

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác BIM ta có

Từ (1) và (2) suy ra hay .

Câu 2. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Vẽ hình bình hành MANF, gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng .

Giải

Xét hai tam giác ABM vuông tại B và AND vuông tại D có:

AB = AD (ABCD là hình vuông)

BM = DN (gt)

Suy ra (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Hình bình hành MANF có hai cạnh kề AM và AN bằng nhau nên là hình thoi.

Do góc MAD phụ với góc MAB nên góc MAD phụ với DAN hay .

Điều này chứng tỏ hình thoi MANF là hình vuông vì hình thoi có một góc vuông.

Kẻ FH, FK theo thứ tự vuông góc với hai đường thẳng BC, NC thu được tứ giác KCHF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra .

Lại có vì là góc của hình vuông nên do cùng phụ với .

Xét tam giác FKN vuông tại K và FHM vuông tại H có:

NF = MF (MANF là hình vuông)

Điều này chứng tỏ F cách đều hai cạnh CM, CN của góc MCN nên F thuộc tia phân giác của góc MCN.

Kết hợp với tính chất về đường chéo của hình vuông ta có:

Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy M bất kì. Trên cạnh AD lấy N sao cho AM = AN. Kẻ , AH cắt CD tại E. Tính số đo .

Giải

Hai tam giác vuông ABN và DAE có:

Xét tứ giác BMEC có BM//CE, BM = CE, . Do đó BMEC là hình chữ nhật.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo BE và CM, ta có OB = OE = OC = OM.

Mặt khác ta có tam giác BHE vuông tại H có HO là trung tuyến

⇒OH = OB = OE (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

⇒OH = OC = OM

⇒ΔMHC vuông tại H hay .

Câu 4. Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Vẽ tia phân giác của cắt đường chéo BD tại E và cạnh BC tại F. Vẽ . Chứng minh rằng .

Giải

Xét hai tam giác vuông AMF và ABF có:

Do ABCD là hình vuông nên đường chéo BD là đường phân giác của

Xem thêm : Ý nghĩa số CCCD là gì? 12 số trên thẻ căn cước công dân

AC là đường phân giác của

AF là phân giác của

Xét tam giác ABF có

Xét tam giác BAE có góc ngoài đỉnh E là

Vậy tam giác BEF cân tại B ⇒ BE = BF. (2)

Tương tự ta chứng minh được ME = MF. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác BEMF là hình thoi.

Áp dụng tính chất đường chéo của hình thoi ta được .

Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC, I và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, H là trung điểm của DE. Chứng minh rằng .

Giải

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên BD = CE (trong một tam giác cân, đường cao tương ứng với hai cạnh bên bằng nhau)

Tam giác BED có I là trung điểm của BE (giả thiết), H là trung điểm của ED (giả thiết)

⇒ IH là đường trung bình nên IH//BD và

Chứng minh tương tự ta cũng được MK là đường trung bình của ∆BDC nên MK//BD và

Từ (1) và (2) suy ra

⇒ IHKM là hình bình hành

Tam giác CDE có H là trung điểm của cạnh DE (giả thiết), K là trung điểm của cạnh CD (giả thiết)

⇒ HK là đường trung bình

Do BD = CE (cmt) Nên

⇒IHKM là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi IHKM ta được .

Xem thêm các dạng bài tập khác:

60 Bài tập về góc, góc vuông, góc không vuông (có đáp án năm 2023)

65 Bài tập về Hai đường thẳng vuông góc. Hai đường thẳng song song (có đáp án năm 2024)

70 Bài tập về hai đường thẳng vuông góc (có đáp án năm 2024)

100 Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (có đáp án năm 2024)

70 Bài tập Đường vuông góc và đường xiên (có đáp án năm 2024)

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp