Bài viết Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện

A. Phương pháp giải

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Bạn đang xem:

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p là một số thực)

B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

B2- Áp dụng định lý Vi – ét tìm:

B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình:

B4- Thay x1 và x2 vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.

2. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x1 – x2| = k(k ∈ R)

– Bình phương trình hai vế: (x1 – x2)2 = k2 ⇔ … ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = k2

– Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận.

3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)

B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 (*)

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

Ta có: . Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

Ta có: (*).Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2

Ta có: (x1 – α)(x2 – α) < 0 (*). Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – (2m – 1)x + m2 – 1 = 0 (x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho thỏa mãn (x1 – x2)2 = x1 – 3×2

Giải

a) Δ = (2m – 1)2 – 4.(m2 – 1)= 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 4 = 5- 4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 – 4m > 0 ⇔ m <

b) Phương trình có hai nghiệm ⇔ m ≤

Kết hợp với điều kiện (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.

Vậy với m = 1 hoặc m = – 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 – x2)2 = x1 – 3×2.

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1 – 9×2 = 0.

Giải

a) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành x2 – 10x + 9 = 0.

Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

b) Δ’ = (-5m)2 – 1.9m = 25m2 – 9m

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ’ > 0 ⇔ 25m2 – 9m > 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có

Từ (*) và giả thiết ta có hệ phương trình:

Thay vào phương trình (**) ta có:

Với m = 0 ta có Δ’ = 25m2 – 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với m = 1 ta có Δ’ = 25m2 – 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Vậy với m = 1thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1-9×2 = 0

Ví dụ 3: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2

Giải

a) Ta có: Δ = [-2(m – 1)]2 – 4.1.(2m – 5) = 4m2 – 12m + 22

= (2m)2 – 2.2m.3 + 9 + 13 = (2m-3)2 + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có: x1 < 1 < x2 ⇒ ⇒(x1 – 1)(x2 – 1) < 0⇒x1 x2 – (x1+x2)+1 < 0 (II)

Thay (I) vào (II) ta có: (2m – 5) – (2m – 2) + 1 < 0 ⇔ 0.m – 2 < 0 (đúng với mọi m).

Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2

B. Bài tập

Câu 1: Cho phương trình x2 – (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

A. m = 0

B. m = 1

C. m = 3

D. m = 4

Giải

Phương trình x2 – (2m + 2)x + 2m = 0 ⇔ x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1, x2 là

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Xem thêm : Trà ô long là gì? Uống trà ô lông có giảm cân không?

Đáp án đúng là A

Câu 2: Cho phương trình x2 + 2x – m2 – 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x1 = -3×2

A. m = 3

B. m = ±1

C. m = ±√2

D. m = -2

Giải

Ta có: Δ’ = 12 – 1.(-m2 – 1)=1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Vi-ét ta có:

Ta có: x1 + x2 = -2 (do trên) và x1 = -3×2 nên có hệ phương trình sau:

Thay (*) vào biểu thức x1.x2 = -m2 – 1 ta được:

Vậy m = ±√2 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 3: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0 (m là tham số)

Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện . Tính tích của các giá trị đó

Giải

Δ’ = (m + 1)2 – (m2 + m – 1) = m2 + 2m + 1 – m2 – m + 1 = m + 2

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

Do đó:

Kết hợp với điều kiện m > -2 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 4: Cho phương trình (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn

Giải

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0

Phương trình có nghiệm khác 0

Kết hợp với điều kiện ta có

Vậy là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là B

Câu 5: Cho phương trình (m là tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

A. m = ±2

B. m = ±√2

C. m = – 1

D. m = 0

Giải

Ta có: , luôn đúng với mọi m

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2.

Áp dụng Vi-et ta có:

Theo đề bài x1, x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có:

Vậy m = ±2 là các giá trị cần tìm.

Xem thêm : Trà ô long là gì? Uống trà ô lông có giảm cân không?

Đáp án đúng là A

Câu 6: Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 với x là ẩn số.

Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x12 = 4×22.

A. m = ±2

B. m = ±1

C. m = -6

D. m = 3

Giải

Ta có: Δ’ = (-1)2 – (-2m2 )= 1 + 2m2 > 0

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi-ét:

Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.

Xem thêm : Trà ô long là gì? Uống trà ô lông có giảm cân không?

Đáp án đúng là A

Câu 7: Cho phương trình x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2| = 3.

A. m = 2

B. m = 4

C. m = 6

D. m = 8

Giải

Ta có: ∆ = 25 – 4m

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì

Theo Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 5 (1) và x1.x2 = m (3)

Mặt khác theo giả thiết ta có: |x1 – x2| = 3 (2)

Giải hệ (1) và (2):

Với x1 = 4, x2 = 1 thay vào (3) ta được m = 4

Với x1 = 1, x2 = 4 thay vào (3) ta được m = 4

m = 4 thỏa mãn điều kiện (*) , vậy m = 4 là giá trị cần tìm

Đáp án đúng là B

Câu 8: Cho phương trình bậc hai x2 + 2(m – 1)x – (m + 1)= 0

Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Giải

Ta có:

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có:

Để phương trình có một nghiệm lớn hơn , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì (x1 – 1)(x2 – 1) < 0

Đáp án đúng là C

Câu 9: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

A. m > – 1

B. m > 2

C. m < 2

D. m < 0

Giải

Ta có:

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có:

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì:

Vậy đáp án đúng là D

Câu 10: Cho phương trình x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn -3 < x1 < x2 < 6

A. m > 1

B. -2 < m < 2

C. -4 < m < 4

D. m < 3

Giải

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Vì -3 < x1 < x2 < 6 nên

Vậy -4 < m < 4.

Đáp án đúng là C

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

a) x2 + 2x + m = 0;

b) – x2 + 2mx – m2 – m = 0;

c) mx2 – 3(m + 1)x + m2 – 13m – 6 = 0.

Bài 2. Cho phương trình x2 – (- 4m – 1)x + 2(m – 4) = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

a) x2 – x1 = 17;

b) Biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất;

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Bài 3. Cho phương trình x2 – 5x + m + 4 = 0 (m là tham số). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để phương trình thỏa mãn:

x1(1 – 3×2) + x2(1 – 3×1) = m2 – 23.

Bài 4. Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6 = 0.

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt;

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt;

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x12+x22;;

d) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x13+x23=19

Bài 5. Cho hai phương trình x2 – mx – m – 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình

a) Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x13+x23=-1;

b) Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1-x2≥3;

c) Có hai nghiệm x1, x2. Từ đó, hãy lập phương trình bậc hai có u và v là nghiệm biết rằng u=x1+1×2 và v=x2+1×1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó
• Tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu
• Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số | Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 độc lập với m
• Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti’s ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L’Oreal mua 1 tặng 3

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp