Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

I. Lý thuyết về góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở ngoài đường tròn

1. Góc có đỉnh nằm trong đường tròn

a) định nghĩa

Góc có đỉnh nằm trong đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm của hai dây cung và giao điểm này nằm trong đường tròn.

Bạn đang xem: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Hai cung nằm trong góc gọi là hai cung bị chắn. goc-co-dinh-ben-trong-duong-tron

Góc BID và góc AIC có đỉnh I nằm trong đường tròn. Hai cung AnC và cung BmD là hai cung bị chắn.

b) Định lý

Số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn bằng nửa (1/2) tổng số đo hai cung bị chắn.

Chứng minh định lý:

Xét đường tròn tâm A và góc I2 là góc có đỉnh nằm trong đường tròn cắt hai dây cung AB và CD. Ta phải chứng minh:

goc-co-dinh-ben-trong-duong-tron-1

Kí hiệu góc và cung như hình vẽ:

goc-co-dinh-ben-trong-duong-tron-2

Khi đó góc I2 là góc ngoài của tam giác IBC tại đỉnh I. Vì mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc không kề với nhau. Vì vậy chúng tôi có:

Góc I2 = Góc B góc C (1)

Lại có:

Góc B là góc nội tiếp chắn cung CmD => Góc B = 1/2 số đo cung CmD. Góc C là góc nội tiếp chắn cung AnB => Góc C = 1/2 số đo cung AnB.

Thay (1) ta được:

Góc I2 = 1/2 số đo cung CmD 1/2 số đo cung AnB

⇔ Góc I2 = (Số đo cung CmD Số đo cung AnB)/2

Vậy Góc I2 = (Số đo cung AB và số đo cung CD)/2 (Đpcm)

2. Góc có đỉnh ở ngoài đường tròn

một định nghĩa

Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm của hai dây cung (hoặc tiếp tuyến) và giao điểm này nằm ngoài đường tròn. Hai cung nằm trong góc gọi là hai cung bị chắn.

b) Định lý

Số đo của góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn bằng một nửa (1/2) hiệu số đo của hai cung bị chắn.

Chứng minh định lý:

Để chứng minh định lý trên ta xét ba trường hợp:

a) Mỗi ​​cạnh của góc cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

Xét góc A có đỉnh nằm ngoài đường tròn tâm O cắt các dây cung BD và CE. Ta phải chứng minh:

Góc A = (Đo cung BD Đo cung CE)/2

Các ký hiệu và cung tròn như hình dưới đây:

goc-co-dinh-ben-noi-duong-tron

Ta có góc D1 là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ADC nên:

Góc D1 = Góc C, Góc A => Góc A = Góc D1 – Góc C (1)

Lại có:

Góc D1 là góc nội tiếp chắn cung CmE => Góc D1 = 1/2 số đo cung CmE. Góc C là góc nội tiếp chắn cung BnD => Góc C = 1/2 số đo cung BnD. Thay (1) ta được:

Góc A = 1/2 số đo cung CmE – 1/2 số đo cung BnD

=> Góc A = (Số đo cung CmE – số đo cung BnD)/2

Vậy Góc A = (Số đo cung BD – số đo cung CE)/2 (DPCM)

b) Một cạnh của góc tiếp tuyến của đường tròn

Xét góc A có đỉnh nằm ngoài đường tròn tâm O và cạnh AB là tiếp tuyến của hai dây cung CB và BD. Ta phải chứng minh:

Xem thêm : Đại kỵ khi ăn trứng vịt lộn, cần biết kẻo 'rước độc' vào người

Góc A = (Số đo của cung CB, số đo của cung BD)/2

Các ký hiệu và cung tròn như hình dưới đây:

goc-co-dinh-ben-noi-duong-tron-1

Ta có góc C1 là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ADC nên:

Góc C1 = Góc A, Góc B => Góc A = Góc C1 – Góc B (2)

Lại có:

Góc C1 là góc nội tiếp chắn cung BmD => Góc C1 = 1/2 số đo cung BmD. Góc B là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BC chắn cung BnC => Góc B = 1/2 số đo cung BnC.

Thay (2) ta được:

Góc A = 1/2 số đo cung BmD – 1/2 số đo cung BnC

=> Góc A = (Số đo cung BmD – số đo cung BnC)/2

Vậy, Góc A = (Số đo cung CB – Số đo cung BD)/2 (DPM)

c) Hai cạnh của góc là tiếp tuyến của đường tròn

Xét góc A có đỉnh nằm ngoài đường tròn tâm O và có hai cạnh là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Kí hiệu góc và cung như sau:

goc-co-dinh-ben-noi-duong-tron-2

Khi đó góc A chắn cung BmC và cung BnC. Ta phải chứng minh:

Góc A = (Số đo cung BC Số đo cung BC)/2

Ta có góc B1 là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ADC nên:

Góc B1 = Góc C1 Góc A => Góc A = Góc B1 – Góc C1 (3)

Lại có:

Góc B1 là góc tạo bởi tiếp tuyến Bt và dây cung BC chắn cung lớn BmC.

=> Góc B1 = 1/2 số đo cung BmC.

Góc C1 là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây CB cắt cung nhỏ CnB

=> Góc C1 = 1/2 số đo cung CnB.

Thay (3) ta được:

Góc A = 1/2 số đo cung BmC – 1/2 số đo cung CnB

=> Góc A = (Số đo cung BmC – Số đo cung CnB)/2

Vậy Góc A = (Số đo cung BC và số đo cung BC)/2 (ĐpCM)

II. Bài tập Góc có đỉnh nằm trong đường tròn. Góc có đỉnh ở ngoài đường tròn

Dạng 1 – Chứng minh hai góc – Hai đoạn thẳng bằng nhau

Giải bằng phương pháp: Sử dụng 2 định lí về số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn và góc có đỉnh ở cạnh bên. Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại điểm I và cắt đường tròn (O) lần lượt tại điểm D và điểm E. Dây cung DE cắt các cạnh bên. Cạnh AB và cạnh AC lần lượt tại điểm M và điểm N. Chứng minh:

a) Ba tam giác AMN, ΔEAI và ΔDAI là các tam giác cân;

b) Tứ giác AMIN là hình thoi.

Câu trả lời:

goc-co-dinh-ben-trong-bench-ngoài-duong-tron-1

a) Góc AMN = Góc ANM = 1/2 số đo cung ED

=> AMN cân tại A. Đoạn AI cắt đường tròn (O) tại điểm K. Chứng minh tương tự, ta có ΔAIE và ΔDIA lần lượt là các tam giác cân tại E và D.

b) Xét ΔAMN cân tại A có AI là tia phân giác.

=> AI ⊥ MN tại F và MF = FN.

Tương tự ΔEAI cân tại E, ta có: AF = IF. => Tứ giác AMIN là elip. Mà AI ⊥ MN => AMIN là hình thoi (ĐPTCM).

Xem thêm : 1 chén cơm bao nhiêu calo? Ăn cơm nhiều có mập không?

Dạng 2 – Chứng minh hai đường thẳng song song và vuông góc với nhau. C/chứng minh đẳng thức đã cho

Phương pháp giải: Vận dụng, sử dụng 2 định lý về số đo góc có đỉnh nằm trong đường tròn và góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn để tìm các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau. Từ đó ta tìm được điều cần chứng minh. Ví dụ: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I và cắt đường tròn lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) Tam giác BDI là tam giác cân;

b) DE là trung trực của CI;

c) NẾU // BC, với F là giao điểm của DE và AC.

Câu trả lời:

goc-co-dinh-ben-trong-bench-ngoài-duong-tron-2

a) Góc BID = 1/2 Số đo cung DE = Góc DBE => Tam giác BDI cân tại D.

b) Chứng minh tương tự câu a, ta có ΔIEC cân tại E, ΔDIC cân tại D. => EI = EC và DI = DC

=> DE là trực tâm của CI.

c) F DE do đó FI = FC

=> Góc FIC = góc FCI = góc ICB

=> SI // BC

Bài tập trắc nghiệm về góc có đỉnh ở bên trong đường tròn – Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn luyện tập phản xạ.

Câu 1: Cho hình vẽ dưới đây, góc BIC có số đo bằng:

A. (Số đo cung BC + số đo cung AD)/2 B. (Số đo cung BC – số đo cung AD)/2 C. (Số đo cung AB + số đo cung CD)/2 D. (Số đo cung AB – số đo cung CD)/2

Lời giải:

Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng một nửa hiệu số đo hai cung bị chắn: Góc BIC = (Số đo cung BC – số đo cung AD)/2 Vậy đáp án cần chọn là B.

Câu 2: Góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn có số đo: A. Bằng một nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. B. Bằng một nửa tổng số đo hai cung bị chắn. C. Bằng số đo của cung lớn bị chắn. D. Bằng số đo của cung nhỏ bị chắn.

Lời giải:

Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng một nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. Vậy đáp án cần chọn là A.

Câu 3: Cho một nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và C là điểm nằm trên cung nhỏ AB (cung CB nhỏ hơn cung CA). Tiếp tuyến tại điểm C của nửa đường tròn cắt đường thẳng AB tại điểm D . Biết tam giác ADC cân tại C. Tính góc ADC. A. 40°. B. 45°. C. 60°. D. 30°.

Lời giải:

Xét nửa đường tròn ta có:

• Góc BAC = 1/2 số đo cung BC
• Góc CAD = 1/2 (số đo cung AC – số đo cung BC)
• Tam giác ADC cân tại C nên góc DAC = góc CDA ⇔ Số đo cung BC = Số đo cung AC – số đo cung BC

Từ đó suy ra: Số đo cung BC = Số đo cung AC

Mà Số đo cung AC + Số đo cung BC = 180° => Số đo cung AC = 120°; số đo cung BC = 60°

=> Góc ADC = 30°

Vậy đáp án cần chọn là D.

Cây 4: Trên (O) lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự sao cho số đo cung AB = số đo cung BC = số đo cung CD. Gọi giao điểm của BD và AC là I, biết góc BIC bằng 70°. Tính góc ABD.

A. 20. B. 15. C. 35. D. 30.

Lời giải:

Vì số đó cung AB = số đo cung BC = số đo cung CD nên gọi cung là a độ. Ta có số đo cung AD là: 360° – 3a

Vì góc BIC là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn nên:

Góc BIC = (a + 360° – 3a)/2 = 70° => a = 110°

=> Số đo cung AD là: 360° – 3a = 360° – 3.110° = 30°

Góc ABD là góc nội tiếp chắn cung AD => Góc ABD = 30°/2 = 15°

Vậy đáp án cần chọn là B

III. Mọi người cũng hỏi

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn là gì?

Trả lời: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn là góc được tạo thành bởi hai tia có điểm gốc là đỉnh của góc và hai điểm trên đường tròn.

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn thường được đo bằng đơn vị gì?

Trả lời: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn thường được đo bằng đơn vị độ (°), tương tự như đo góc trong hệ tọa độ.

Cách tính độ đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn là gì?

Trả lời: Độ đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn được tính bằng nửa độ tròn (180°) cộng với một nửa độ của góc tạo bởi hai tia của góc đó.

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn thường được sử dụng trong bối cảnh nào?

Trả lời: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn thường được sử dụng trong hình học hình tròn, trong các bài toán liên quan đến góc tạo bởi các tia chạm vào đường tròn hoặc góc nằm trong vùng được bao quanh bởi đường tròn.

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp