Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng

Để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng (P) cho trước thì trong bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với chúng ta 02 cách làm. Đó là cách làm theo kiểu tự luận và công thức trắc nghiệm nhanh. Tuy nhiên cách giải tự luận sẽ giúp chúng ta hiểu rõ bản chất, còn công thức giải nhanh thì có thể quên bất cứ khi nào.

Bài toán:

Bạn đang xem: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0$ và một điểm $M(x_0;y_0;z_0)$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Phương pháp 1:

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). Đường thẳng d sẽ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $vec{n}=(A;B;C)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d có phương trình là: $left{begin{array}{ll}x=x_0+Aty=y_0+Btz=z_0+Ctend{array}right.$

Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là H. Ta sẽ có H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Tọa độ điểm H chính là nghiệm của hệ phương trình:

$left{begin{array}{ll}x=x_0+Aty=y_0+Btz=z_0+CtAx+By+Cz+D=0end{array}right.$

Đây là cách làm theo kiểu tự luận. Tuy nhiên nó cũng khá nhanh, mà không đến nỗi phức tạp. Còn công thức trắc nghiệm giải nhanh thì chút nữa nhé. Cứ đọc hết ví dụ này cho hiểu đã nhé.

Xem thêm bài giảng:

• Tìm hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát trong không gian Oxyz
• Viết phương trình đường thẳng dạng chính tắc trong không gian Oxyz
• Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
• Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Ví dụ 1: Cho điểm $M(1;2;3)$ và mặt phẳng (P) có phương trình là: $2x+3y-z+9=0$. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).

Hướng dẫn:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $vec{n}(2;3;-1)$

Gọi d là đường thẳng di qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đo đường thẳng d sẽ nhận $vec{n}(2;3;-1)$ làm vectơ chỉ phương.

Xem thêm : Thành phố trực thuộc trung ương là gì? Các thành phố trực thuộc trung ương?

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $left{begin{array}{ll}x=1+2ty=2+3tz=3-t end{array}right.$

Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó điểm H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P). Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình sau:

$left{begin{array}{ll}x=1+2ty=2+3tz=3-t2x+3y-z+9=0 end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x=1+2ty=2+3tz=3-t2(1+2t)+3(2+3t)-(3-t)+9=0 end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x=1+2ty=2+3tz=3-tt=-1end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x=-1y=-1z=4end{array}right.$

Vậy tọa độ điểm H là: $H(-1;-1;4)$

Với cách tìm tọa độ hình chiếu của điểm như ở trên thì thầy nghĩ khó mà quên được. Bởi phương pháp ở đây rất cơ bản và cũng đơn giản. Tuy nhiên với công thức giải nhanh việc tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên một mặt phẳng thầy sắp nói ra ở dưới đây tuy là nhanh nhưng lại hay quên hơn. Bởi đây là những công thức không phải lúc nào chúng ta cũng dùng tới.

Phương pháp 2: Áp dụng công thức tính nhanh tọa độ hình chiếu của điểm

Công thức tính nhanh tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Aky_H=y_0+Bkz_H=z_0+Ckend{array}right.$

Với $k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

Tại sao có công thức này thì thầy có thể giải thích như sau:

Theo cách làm ở phương pháp 1 thì tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

$left{begin{array}{ll}x=x_0+Aky=y_0+Bkz=z_0+CkAx+By+Cz+D=0end{array}right. kin R$

Thay 3 phương trình đầu tiên trong hệ vào phương trình thứ 4 ta sẽ có:

Xem thêm : Top những bộ phim có doanh thu cao nhất trong năm 2022

$A(x_0+Ak)+B(y_0+Bk)+C(z_0+Ck)+D=0$

$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

Với k được xác định như vậy đó.

Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng cách tính này vào ví dụ 1 vừa rồi nhé, xem có nhanh hơn không nào?

Mặt phẳng (P): $2x+3y-z+9=0$ có $A=2; B=3; C=-1$

Tọa độ điểm $M(1;2;3)$

Trước tiên các bạn sẽ xác định k trước nhé:

$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

<=> $k=-dfrac{2.1+3.2-1.3+9}{2^2+3^2+(-1)^2}$

<=> $k=-dfrac{14}{14}=-1$

Tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Aky_H=y_0+Bkz_H=z_0+Ckend{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x_H=1+2(-1)y_H=2+3(-1)z_H=3+(-1).(-1)end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x_H=-1y_H=-1z_H=4end{array}right.$

Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là $H(-1;-1;4)$

Trên đây là 02 cách xác định tọa độ hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng cho trước trong hệ trục tọa độ Oxyz. Các bạn thấy cách nào phù hợp hơn với mình thì sử dụng nhé. Tốt hơn hết là chúng ta nhớ và thành thạo cả 2 cách. Mọi ý kiến đóng góp cho bài giảng các bạn hãy comment dưới khung bình luận nhé.

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp