Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

I. Định nghĩa.

– Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Bạn đang xem: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

– Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

un+1 = un + d với n ∈  ℕ* (1)

– Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

– Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3.

II. Số hạng tổng quát

– Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

– Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 1; d =5.

a) Tìm u10.

b) Số 106 là số hạng thứ bao nhiêu?

Lời giải:

Xem thêm : Bảo hiểm thất nghiệp không lấy có bị mất không?

a) Số hạng thứ 10 là u10 = u1 + (10 – 1)d = 1 + 9.5 = 46.

b) Ta có: un = u1 + (n – 1)d. Vì un =106 nên:

106 = 1 + (n – 1).5

⇔105 = (n – 1).5

⇔21 = n – 1 nên n = 22.

Vậy 106 là số hạng thứ 22.

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

– Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

uk  = uk−1  + uk+​12  ;  k ≥2

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

– Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó: Sn  =  n(u1 +  un)2 .

– Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: Sn  =nu1  ​+​ n(n  −  1)2d.

Xem thêm : Công thức sữa hạt mít siêu ngon dễ làm

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (un) với un = 2n + 5.

a) Tìm u1 và d.

b) Tính tổng 40 số hạng đầu tiên.

c) Biết Sn = 187, tìm n.

Lời giải:

a) Ta có: u1 = 2.1 + 5 = 7; u2 = 2.2 + 5 = 9.

Suy ra, d = u2 – u1 = 2.

b) Tổng 40 số hạng đầu tiên là:

S40  =40. 7  ​+​ 40(40  −  1)2. 2  =1840

c) Ta có: Sn  =nu1  ​+​ n(n  −  1)2d nên:

187  =  7n  +​  n(n−1)2. 2⇔187  =  7n +​  n  2−n

⇔n^2 + 6n – 187 = 0

⇔n=  11n=  −17 

Vì n là nguyên dương nên n = 11.

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp