Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 12
• Sách giáo khoa hình học 12
• Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao
• Giải Toán Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Giải Toán Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bạn đang xem: Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bài 3.1 trang 103 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho ba vecto a→ = (2; −1; 2), b→ = (3; 0; 1), c→ = (−4; 1; −1). Tìm tọa độ của các vecto m→ và n→ biết rằng:

a) m→ = 3a→ − 2b→ + c→

b) n→ = 2a→ + b→ + 4c→

Lời giải:

a) m→ = (−4; −2; 3)

b) n→ = (−9; 2; 1)

Bài 3.2 trang 103 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho vecto a→ = (1; −3; 4).

a) Tìm y0 và z0 để cho vecto b→ = (2; y0; z0) cùng phương với a→

b) Tìm tọa độ của vecto c→ biết rằng a→ và c→ ngược hướng và |c→| = 2|a→|

Lời giải:

a) Ta biết rằng a→ và b→ cùng phương khi và chỉ khi a→ = kb→ với k là một số thực. Theo giả thiết ta có: b→ = (x0; y0; z0) với x0 = 2. Ta suy ra k = 1/2 nghĩa là l = x0/2

Do đó: −3 = y0/2 nên y0 = -6

4 = z0/2 nên z0 = 8

Vậy ta có b→ = (2; −6; 8)

b) Theo giả thiết ta có c→ = −2a→

Do đó tọa độ của c→ là: c→ = (-2; 6; -8).

Bài 3.3 trang 103 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Lời giải:

Gọi M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Ta có:

• M’(x0; y0; 0)

• M’’ (0; y0; z0)

• M’’’(x0; 0; z0)

Bài 3.4 trang 103 Sách bài tập Hình học 12: Cho hai bộ ba điểm:

a) A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1)

b) M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1)

Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

Lời giải:

a) Ta có: AB→ = (−1; −2; 1)

AC→ = (−1; −3; 0)

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto AB→ và AC→ cùng phương, nghĩa là AB→ = kAC→ với k là một số thực.

Giả sử ta có AB→ = kAC→

khi đó

Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có: MN→ = (−5; 2; 0) và MP→ = (−10; 4; 0). Hai vecto MN→ và MP→ thỏa mãn điều kiện: MN→ = kMP→ với k = k/2 nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Bài 3.5 trang 103 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Lời giải:

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

MA2 = (1 – x)2 + 1 + (1 – z)2

MB2 = (-1 – x)2 + 1 + z2

MC2 = (3 – x)2 + 1 + (-1 – z)2

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2 = MB2 = MC2

Từ đó ta tính được

Bài 3.6 trang 103 Sách bài tập Hình học 12: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

Lời giải:

a) Ta có: AC→ = AD→ + DC→

BD→ = BC→ + CD→

Xem thêm : Dân số Ả Rập Xê Út

Do đó: AC→ + BD→ = AD→ + BC→ vì DC→ = –CD→

b) Vì AB→ = AD→ + DB→ và AD→ = AC→ + CD→ nên AB→ = AC→ + CD→ + DB→

Do đó: 2AB→ = AC→ + AD→ + CD→ + 2DB→

Vậy

Bài 3.7 trang 103 Sách bài tập Hình học 12: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) AB→ + CD→ = AD→ + CB→ = 2 MN→

b) AB→ − CD→ = AC→ BD→ = 2 PQ→

Lời giải:

a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì

Do đó

hay

Mặt khác

Nên

Vì

Từ (1) và (2) ta có:

là đẳng thức cần chứng minh

b) Ta có:

Do đó:

Nên

Vì

Từ (3) và (4) ta suy ra

là đẳng thức cần chứng minh.

Bài 3.8 trang 103 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian cho ba vecto tùy ý a→, b→, c→.

Gọi u→ = a→ − 2b→, v→ = 3b→ − c→, w→ = 2 c→ − 3a→.

Chứng tỏ rằng ba vecto u→, v→, w→ đồng phẳng.

Lời giải:

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto u→, v→, w→ đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho w→ = pu→ + qv→.

Giả sử có w→ = pu→ + qv→

2c→ – 3a→ = p(a→ – 2b→) + q(3b→ − c→)

⇔ (3 + p)a→ + (3q − 2p)b→ − (q + 2)c→ =0→ (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý a→, b→, c→ nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

Như vậy ta có: w→ = −3u→ − 2v→ nên ba vecto u→, v→, w→ đồng phẳng.

Bài 3.9 trang 104 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho một vecto a→ tùy ý khác vecto 0→. Gọi α, β, γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị i→, j→, k→ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto a→. Chứng minh rằng: cos2α + cos2β + cos2γ = 1

Lời giải:

Gọi a0→ là vecto đơn vị cùng hướng với vecto a→

ta có

GọiOA0→ = a0→ và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có:

Vì

Ta có:

ta suy ra:

hay

Vì OA0→ = a0→ mà |a0→ | = 1 nên ta có: cos2α + cos2β + cos2γ = 1

Bài 3.10 trang 104 Sách bài tập Hình học 12: Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức:

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Lời giải:

Xem thêm : Trường ĐH Ngoại thương mở thêm ngành học mới Khoa học máy tính, Báo chí, Nghệ thuật

a) Ta có

Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ DB, nghĩa là AB→. CD→ = 0 và AC→.DB→ = 0 thì AD→. BC→ = 0 và do đó AD ⊥ BC.”

Bài 3.11 trang 104 Sách bài tập Hình học 12: Tính tích vô hướng của hai vecto a→, b→ trong không gian với các tọa độ đã cho là:

a) a→ = (3; 0; −6), b→ = (2; −4; c)

b) a→ = (1; −5; 2), b→ = (4; 3; −5)

c) a→ = (0; √2; √3), b→ =(1; √3; −√2)

Lời giải:

a) a→. b→ = 6(1 − c);

b) a→. b→ = −21;

c) a→. b→ = 0

Bài 3.12 trang 104 Sách bài tập Hình học 12: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(4; -1; 1), B(2; 1; 0)

b) A(2; 3; 4), B(6; 0; 4)

Lời giải:

a) |AB→| = 3

b) |AB→| = 5

Bài 3.13 trang 104 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:

A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Lời giải:

Ta có: AB→ = (−a; b; 0) và AC→ = (−a; 0; c)

Vì AB→. AC→ = a2 > 0 nên góc ∠BAC là góc nhọn.

Lập luận tương tự ta chứng minh được các góc ∠B và ∠C cũng là góc nhọn.

Bài 3.14 trang 104 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.

b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;

c) Đi qua điểm M(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1)

Lời giải:

a) (x – 5)2 + (y + 3)2 + (z – 7)2 = 4 ;

b) (x – 4)2 + (y + 4)2 + (z – 2)2 = 36;

c) (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 18.

Bài 3.15 trang 104 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x2 + y20 + z2 – 6x + 2y – 16z – 26 = 0 ;

b) 2×2 + 2y2 + 2z2 + 8x – 4y – 12z – 100 = 0

Lời giải:

a) Tâm I(3; -1; 8), bán kính r = 10;

b) Tâm I(-2; 1; 3), bán kính r = 8.

Bài 3.16 trang 104 Sách bài tập Hình học 12: Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải:

Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Vì

A ∈ (S) nên ta có: 1 – 2a + d =0 (1)

B ∈ (S) nên ta có: 4 + 4b + d = 0 (2)

C ∈ (S) nên ta có: 16 – 8c + d = 0 (3)

D ∈ (S) nên ta có: d = 0 (4)

Giải hệ 4 phương trình trên ta có: d = 0, a = 1/2, b = −1,c = 2.

Vậy mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: x2 + y2 + z2 -x + 2y – 4z = 0

Phương trình mặt cầu (S) có thể viết dưới dạng:

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1/2; -1; 2) và có bán kính

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp