Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải

+ Hàm số y = f(x) đồng biến nếu với mọi x1; x2 thuộc tập xác định thỏa mãn x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến nếu với mọi x1; x2 thuộc tập xác định thỏa mãn x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)

Bạn đang xem:

+ Ngoài dựa vào định nghĩa, ta có thể dựa vào việc xét dấu biểu thức A = (f(x1)- f(x2))(x1 – x2) hoặc .

Nếu A > 0 (hoặc B > 0 ) thì hàm số đồng biến.

Nếu A < 0 (hoặc B < 0) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = f(x) = 3x-7 .

b) y = g(x) = -2x+5 .

c) y = h(x) = √(x+2)

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên toàn tập số thực.

b) Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:

Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên toàn tập số thực.

c) Đkxđ : x ≥ -2.

Lấy x1 ≠ x2 thỏa mãn x1; x2 ≥ -2 ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định x ≥ -2.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng :

a) f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến khi x > -1 và nghịch biến khi x < -1.

b) g(x) = -x2 + 4x + 1 đồng biến khi x < 2 và nghich biến khi x > 2.

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x1 ; x2 ∈ R ta có :

+ Với mọi x1 < -1 ; x2 < -1 thì x1 + x2 + 2 < 0

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

b) Lấy x1 ; x2 ∈ R, xét :

Xem thêm : Cách tắt nguồn điện thoại OPPO không cần nút nguồn – Bạn đã thử chưa?

+ Với mọi x1 < 2 ; x2 < 2thì x1 + x2 < 4.

Do đó

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≤ 1.

Ta có:

Lấy x1; x2 < 1 ta có:

Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên tập D khi :

Bài 2: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên tập D khi :

Bài 3: Cho hàm số y = 1 – x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có tập xác định x < 1.

B. Hàm số có tập xác định x > 1.

C. Hàm số đồng biến trên tập xác định

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bài 4: Cho hàm số y = x2 – 6x . Hàm số đồng biến khi :

A. 0 < x < 5 B. x < 3 C. x > 3 D. -2 <x < 2.

Bài 5: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên toàn tập số thực:

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số

Lấy x1; x2 ∈ R bất kì, ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên tập số thực.

Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số với x < 1.

Hướng dẫn giải:

Xem thêm : Tiết lợn giúp trẻ lâu, giảm béo, chống cả ung thư nhưng lại 'đại kỵ' với những người sau

Đkxđ: x ≤ 3/2 .

Lấy x1; x2 < 1 bất kì ta có:

Vậy hàm số nghịch biến với mọi x < 1.

Bài 8: Cho hàm số y = x2 – x + 1.

Chứng minh hàm số đồng biến khi x > 1/2 và nghịch biến khi x < 1/2.

Hướng dẫn giải:

f(x) = x2 – x + 1

+ Lấy x1; x2 < 1/2 bất kì ta có:

Với x1; x2 < 1/2 thì x1 + x2 < 1 nên x1 + x2 – 1 < 0 .

Hay hay hàm số nghịch biến với x < 1/2 .

+ Lấy x1; x2 > 1/2 bất kì ta có x1 + x2 > 1 , suy ra x1 + x2 – 1 > 0

Suy ra

Hay hay hàm số đồng biến với x > 1/2 .

Bài 9: Chứng minh hàm số đồng biến với x > 2.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 2 .

Lấy x1; x2 > 2. Ta có:

Với x1;x2 > 2 ta có: 2 – x1 < 0 ; 2 – x2 < 0

Do đó

Vậy hàm số đồng biến với x > 2.

Bài 10: Tìm điều kiện của a để hàm số y = ax + 3 nghịch biến trên toàn tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = f(x) = ax + 3.

Lấy x1 ; x2 ∈ R bất kì.

Ta có :

Để hàm số nghịch biến trên R thì hay a < 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

• Phương pháp Tìm tập xác định của hàm số
• Phương pháp Tìm tập giá trị của hàm số
• Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
• Cách xác định hàm số bậc nhất: tập xác định, đồng biến, nghịch biến
• Cách làm bài toán Đồ thị hàm số lớp 9 cực hay (có lời giải)
• Bài toán hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau
• Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay
• Bài toán Đồ thị hàm số trị tuyệt đối cực hay

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

• Chuyên đề Đại Số 9
• Chuyên đề: Căn bậc hai
• Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
• Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
• Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
• Chuyên đề Hình Học 9
• Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• Chuyên đề: Đường tròn
• Chuyên đề: Góc với đường tròn
• Chuyên đề: Hình Trụ – Hình Nón – Hình Cầu

Săn SALE shopee Tết:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L’Oreal mua 1 tặng 3

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp