Đường cao trong tam giác cân

1. Đường cao là gì?

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc được kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện của tam giác đó.

Cạnh đối diện được gọi là đáy ứng với đường cao đó.

Bạn đang xem: Đường cao trong tam giác cân

Giao điểm giữa đáy và đường cao được gọi là chân của đường cao.

Độ dài của đường cao được tính bằng khoảng cách từ đỉnh đến đáy.

Trong một tam giác sẽ có 3 đường cao được hạ từ 3 đỉnh của tam giác đó. Ba đường cao này sẽ đồng quy (giao nhau) tại một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm.

Trực tâm của tam giác có thể nằm trong (xuất hiện ở tam giác nhọn) hoặc nằm ngoài (ở tam giác tù) hoặc trùng với một đỉnh trong tam giác (xuất hiện ở tam giác vuông).

Lưu ý: Tính chất ba đường cao của tam giác áp dụng theo Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

2. Tính chất của đường cao trong tam giác:

2.1. Tính chất của đường cao trong tam giác cân:

Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy. Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác. Ngược lại nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.

Chú ý: Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.

2.2. Tính chất đường cao trong tam giác vuông:

Trong tam giác vuông thì đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.

2.3. Tính chất đường cao của tam giác vuông cân:

Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông lại vừa là tam giác cân.

Đường cao trong tam giác vuông cân đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông của tam giác đó.

Đồng thời, độ dài của đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông sẽ có độ dài bằng ½ cạnh huyền.

3. Công thức tính đường cao trong tam giác:

3.1. Công thức tính đường cao trong tam giác thường:

Cách tính đường cao trong tam giác sử dụng công thức Hero:

Với a, b, c là độ dài các cạnh; ha là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC; p là nửa chu vi:

p = (a + b + c) : 2

Ví dụ:

Cho tam giác ABC, cạnh AB = 4cm, cạnh BC = 7 cm, cạnh AC = 5 cm. Tính đường cao AH kể từ A cắt BC tại H và tính diện tích ABC.

Giải:

3.2. Công thức tính đường cao trong tam giác cân:

Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình trên:

Công thức tính đường cao AH:

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

⇒ HB=HC= ½BC

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

AH²+BH²=AB²

⇒AH²=AB²−BH²

Ví dụ: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30cm, đường cao AH = 20 ( cm ). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.

Giải: Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm )

⇒ BH = CH = 15( cm ).

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

3.3. Công thức tính đường cao trong tam giác đều:

Xem thêm : Xe cứu hỏa và xe cứu thương xe nào được ưu tiên

Công thức:

Trong đó: h là đường cao của tam giác đều

a là độ dài cạnh của tam giác đều

3.4. Công thức tính đường cao trong tam giác vuông:

Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình vẽ:

Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

Trong đó: a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;

b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền;

c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;

h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

4. Cách dạng toán thường gặp về đường cao trong tam giác:

4.1. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp:

Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.

Nếu H là giao điểm của hai đường cao kẻ từ B và C của ΔABC thì AH ⊥ BC

Dạng 2: Bài toán về đường cao với tam giác, tam giác cân, tam giác đều

Phương pháp:

– Sử dụng tính chất vuông góc của đường cao đối với cạnh đối diện

– Sử dụng định lý “Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó” để một trong các đường trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là các đường còn lại.

– Sử dụng nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.

4.2. Một số bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC đều, cạnh AB = BC = AC = a = 6, kẻ đường cao từ A xuống cắt với BC tại H, tính chiều cao AH.

Giải:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

Giải:

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)

BC2 = 242+ 322

Xem thêm : Top 15 Phim ngắn Hàn Quốc hay và cảm động nhất

BC2 = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A = 70, AB

Hướng dẫn giải:

Gọi AD cắt BE = I.

Vì AB = AE nên tam giác ABE cân tại A.

Mặt khác AD là phân giác góc A của tam giác ABC

=> AI là đường cao của tam giác ABE

BF vuông góc với AE => BF là đường cao của tam giác ABE

Mà BF giao AI = H nên H là trực tâm của tam giác ABE

Xét tam giác HEF có: góc FHE = 90 – góc FEH (1)

Xét tam giác HIE có góc EHI = 90 – IEH (2)

Từ (1) và (2) ta có: góc FHD = góc FHE + góc EHI = 180 – góc FEH – góc IEH = 180 – góc FEI

Vì tam giác ABE cân tại A nên góc AEB = góc ABE = (180 – góc BAE) / 2 = (180 – 70) / 2 = 55

=> góc EHD = 180 – góc FEI = 180 – 55 = 125

Bài 4. Cho tam giác ABC có góc A > 90. AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và BE. Chứng minh AB vuông góc FC

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác FBC có:

AD vuông góc BC nên FD vuông góc BC (1)

BE vuông góc AC => CE vuông góc BF (2)

Từ (1) và (2) suy ra, CE và FD là các đường cao của tam giác FBC mà FD giao CE = A nên A là trực tâm của tam giác FBC

=> A thuộc đường cao hạ từ B của tam giác FBC => AB vuông góc FC

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D bất lỳ (D # A, B), trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh ED vuông góc BC.

Mọi người cũng hỏi

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp