Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng là một trong những vấn đề quan trọng trong hình học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
1. Khái niệm 3 điểm thẳng hàng
1.1 Định nghĩa về điểm trong hình học
Trong hình học, điểm được định nghĩa là một đơn vị cơ bản không có kích thước, chỉ là một vị trí trong không gian. Trên một trang giấy, điểm thường được biểu diễn bằng một dấu chấm nhỏ. Điểm là khái niệm cơ bản và là nền tảng của hình học.
Bạn đang xem: Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Ký hiệu cho điểm thường được thực hiện bằng cách sử dụng các chữ cái in hoa như A, B, C,… để gán tên cho mỗi điểm riêng biệt. Hai điểm khác nhau được gọi là hai điểm phân biệt. Bất kỳ hình dạng nào cũng có thể được xem như là một tập hợp của các điểm.
1.2 Định nghĩa về đường thẳng trong hình học
Trong hình học, đường thẳng cũng là một tập hợp của các điểm, nhưng khác với điểm, nó không bị giới hạn bởi bất kỳ định hướng nào và kéo dài vô hạn ở cả hai hướng. Đường thẳng thường được đặt tên bằng chữ cái thường hoặc một cặp chữ cái thường.
Một số ví dụ về đường thẳng trong thực tế có thể là một vết bút chì vạch ngang theo thước, hoặc một sợi chỉ căng.
1.3 Mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng
Một đường thẳng có thể được xem như là một tập hợp của các điểm trên đó. Một điểm có thể thuộc vào một đường thẳng hoặc không thuộc vào đường thẳng đó. Ba điểm được coi là thẳng hàng khi chúng nằm trên cùng một đường thẳng.
1.4 Định nghĩa về ba điểm thẳng hàng
Ba điểm được xem là thẳng hàng khi chúng đồng loạt nằm trên một đường thẳng duy nhất. Ngược lại, nếu ba điểm không thể được đặt trên một đường thẳng duy nhất, chúng được coi là không thẳng hàng.
2. Quan hệ giữa 3 điểm thẳng hàng
Trong trường hợp ba điểm thẳng hàng, tồn tại một và chỉ một điểm nằm ở giữa hai điểm còn lại.
Lưu ý: Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác, thì ba điểm đó được coi là thẳng hàng.
Khi một điểm C nằm giữa hai điểm A và B, chúng ta có thể kết luận:
- Điểm C và điểm B nằm cùng phía so với điểm A.
- Điểm A và điểm C nằm cùng phía so với điểm B.
- Điểm A và điểm B nằm ở hai phía khác nhau so với điểm C.
3. Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Sử dụng hai góc kề bù, với ba điểm nằm trên hai cạnh, tạo thành hai tia đối nhau.
Ba điểm cùng thuộc một tia hoặc một đường thẳng.
Trong ba đoạn thẳng nối hai trong ba điểm, tồn tại một đoạn thẳng có độ dài bằng tổng của hai đoạn thẳng kia.
Hai đoạn thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm đó là song song với nhau và cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm đó vuông góc với một đường thẳng thứ ba.
Đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm đó chứa cả điểm thứ ba.
Sử dụng tính chất đường phân giác góc, đường trung trực của đoạn thẳng, và ba đường cao trong tam giác.
Xem thêm : Top 8 loại nước giặt Thái Lan tốt nhất, thơm lâu và giặt cực sạch
Sử dụng tính chất của hình bình hành.
Sử dụng tính chất của góc nội tiếp trong đường tròn.
Sử dụng góc bằng nhau đối đỉnh.
Sử dụng trung điểm của các cạnh bên và các đường chéo trong hình thang.
Chứng minh phản chứng.
Sử dụng diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0.
Sử dụng sự đồng qui của các đường thẳng.
4. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng thường dùng nhất
Cách 1: Áp dụng tính chất góc bẹt (hình 1)
Chọn điểm D bất kỳ: nếu ABD + DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng.
Cách 2: Sử dụng Tiên đề Euclide (hình 2)
Xét 3 điểm A, B, C và một đường thẳng a. Nếu AB //a và AC //a thì ta khẳng định được ba điểm A; B; C thẳng hàng. (dựa theo Tiên đề Ơclit trong chương trình toán lớp 7)
Cách 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc (hình 3)
Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a; đoạn thẳng AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)
* Hoặc sử dụng tài sản A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng. (trong chương trình toán lớp 7)
Cách 4: Sử dụng tính duy nhất của đường phân giác (hình 4)
Nếu 2 bán kính OA và OB là tia phân giác của góc xOy thì ta khẳng định được 3 điểm O, A, B thẳng hàng.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một tia phân giác
* Hoặc: Hai tia OA và OB cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có cạnh chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Cách 5: Sử dụng tính chất trực giao
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BD thì K’ là giao điểm của hai đường thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm của BD và K’ trùng với K. Suy ra 3 điểm A, K, C thẳng hàng. (Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)
Cách 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy
Chứng minh 3 điểm thuộc đường đồng quy của tam giác.
Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung trực của góc A nên 3 điểm A, M, H thẳng hàng.
Ngoài ra, học sinh hoàn toàn có thể vận dụng tất cả các đường cạnh tranh khác của tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác hay 3 đường trung trực trong tam giác.
Cách 7: Sử dụng phương pháp véc tơ
Ta sử dụng tính chất 2 vectơ cùng phương để chứng minh tồn tại một đường thẳng đi qua 3 điểm (tức 3 điểm thẳng hàng).
Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC cùng phương, hoặc vectơ CA và vectơ CB, hoặc vectơ AB và vectơ BC cùng hướng, ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
5. Một số bài tập luyện chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là một điểm bất kì trên đoạn AD. Vẽ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Vẽ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh góc MID = góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp trong một đường tròn, từ đó HS phải chứng minh được ba điểm K, M, B thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây của các đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa 2 điểm M và N. Chứng tỏ ba điểm M, D, N thẳng hàng.
Bài tập 3: Xét nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 và lt; điều hòa< trước công nguyên. Gọi D là một điểm trên cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC, điểm F là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng tỏ rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của (O).
Trên đây là toàn bộ những kiến thức về lý thuyết, phương pháp giải và một số bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Hi vọng bài viết này sẽ giúp các em có thêm cách giải khi gặp dạng bài tập này.
6. Mọi người cũng hỏi
Làm thế nào để chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng?
Trả lời: Để chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng, ta thường sử dụng các phương pháp chứng minh hình học như sử dụng định lí thứ nghiệm, định lí góc bù hay dùng định lí song song và đồng quy. Trong trường hợp có đủ thông tin về độ dài và vị trí của các đoạn thẳng liên quan, ta cũng có thể sử dụng tính chất tỷ lệ để chứng minh.
Tại sao chứng minh ba điểm thẳng hàng quan trọng trong hình học?
Trả lời: Chứng minh ba điểm thẳng hàng là một khái niệm cơ bản trong hình học, giúp xác định mối quan hệ tương quan giữa các điểm trong không gian. Nó là cơ sở để hiểu rõ về đoạn thẳng, góc và hình học tổng quát.
Có những cách chứng minh ba điểm thẳng hàng khác nhau không?
Trả lời: Có, có nhiều cách khác nhau để chứng minh ba điểm thẳng hàng dựa trên các định lí và tính chất của hình học. Tùy thuộc vào tình huống cụ thể và thông tin được cung cấp, ta có thể lựa chọn cách chứng minh phù hợp.
Chứng minh ba điểm thẳng hàng liên quan đến những khái niệm nào khác trong hình học?
Trả lời: Chứng minh ba điểm thẳng hàng thường liên quan đến các khái niệm như định lí góc bù, định lí thứ nghiệm, tính chất tỷ lệ và đồng quy. Các khái niệm này giúp ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ và tính chất của các đoạn thẳng và góc trong hình học
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp