Hai đường thẳng vuông góc là một phần nội dung kiến thức được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán ở bậc THPT nói chung và trong lớp 11 nói riêng. Vậy, thế nào là hai đường thẳng vuông góc? Chúng ta có thể chứng minh 2 đường thẳng vuông góc bằng những cách nào? Để có thể tìm được câu trả lời cho những câu hỏi vừa nêu, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết của bài viết sau đây.
1. Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc
+ Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
Bạn đang xem: Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc đơn giản, dễ hiểu
+ Kí hiệu: a b.
2. Một số cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
2.1. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc thông qua vectơ chỉ phương
+ Giả sử đường thẳng a có vectơ chỉ phương là , đường thẳng b có vectơ chỉ phương là .
+ Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta cần chứng minh = 0
Ví dụ: Cho đường thẳng d1: 2x – y + 3 = 0 và đường thẳng d2: x + 2y – 3 = 0. Hỏi hai đường thẳng d1 và d2 có phải là hai đường thẳng vuông góc không? Tại sao?
Giải
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương = (1; 2).
+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương = (2; – 1).
+ Ta có: = 1.2 + 2.(- 1) = 0.
Vậy, hai đường thẳng d1 và d2 là hai đường thẳng vuông góc với nhau.
2.2. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc thông qua yếu tố vuông góc với mặt phẳng
+ Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta cần chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) mà đường thẳng b lại chứa trong mặt phẳng (P).
+ Nhắc lại về cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta cần chứng minh đường thẳng a lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P).
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh AB vuông góc với SD.
Giải
+ Theo đề bài, SA (ABCD) suy ra SA AB (ABCD) (1)
+ Lại có: AB AD (do ABCD là hình chữ nhật) (2)
Trong đó: SA, AD (SAD) và SA AD = {A} (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra AB (SAD)
Mà SD (SAD) nên AB SD (đpcm)
2.3. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc dựa vào định lí 3 đường vuông góc
* Lý thuyết:
- Cho đường thẳng m không vuông góc với mặt phẳng (Q).
- Đường thẳng n nằm trong mặt phẳng (Q).
- Gọi m’ là hình chiếu của đường thẳng m trên mặt phẳng (Q).
- Để chứng minh đường thẳng m vuông góc với đường thẳng n ta cần chứng minh đường thẳng m’ vuông góc với đường thẳng n.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SA (ABCD). Chứng minh SC vuông góc với BD.
Giải
+ Theo đề bài, SA (ABCD) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Vì C là một điểm nằm trên mặt phẳng (ABCD) nên hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABCD) là điểm C.
Do đó, hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD) là AC.
Xem thêm : Sau khi ly hôn con 7 tuổi có quyền lựa chọn ở với bố hoặc mẹ không?
+ Ta có: AC BD (tính chất hai đường chéo trong hình thoi ABCD).
Suy ra: SC BD (đpcm)
3. Bài tập chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
3.1. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BC vuông góc với SM thông qua cách chứng minh vuông góc với mặt phẳng.
ĐÁP ÁN
+ Tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC nên AM ngoài là đường trung tuyến còn đóng vai trò là đường cao trong tam giác ABC.
Do đó, AM BC (1)
+ Theo đề bài, SA (ABC) nên SA BC (ABC) (2)
+ Mà SA AM = {A} và SA, AM (SAM) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra BC (SAM)
Do đó, BC SM (SAM) (đpcm)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BC vuông góc với SM thông qua việc sử dụng định lí 3 đường vuông góc.
ĐÁP ÁN
+ Vì SA (ABC) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).
+ M (ABC) nên hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABC) là M.
Suy ra AM là hình chiếu của SM trên mặt phẳng (ABC).
Lại có, AM BC (do tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao)
Vậy, BC SM.
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Bài 3: Trong các cặp đường thẳng sau đây, đâu là hai đường thẳng vuông góc?
- d1: x – 2y + 4 = 0 và d2: 2x + y – 1 = 0.
- d1: 2x + y + 1 = 0 và d2: x + 2y – 5 = 0.
- d1: 3x – 4y – 7 = 0 và d2: 3x + 4y + 1 = 0.
- d1: x + y + 1 = 0 và d2: 2x – y – 1 = 0.
ĐÁP ÁN
+ Ở câu A, ta có:
d1 có vecto chỉ phương là = (2; 1).
d2 có vecto chỉ phương là = (1; – 2).
Trong đó, = 2.1 + 1.(- 2) = 0.
Do đó, d1 và d2 là hai đường thẳng vuông góc.
+ Ở câu B, ta có:
d1 có vecto chỉ phương là = (1; – 2).
Xem thêm : Nên làm gì khi bị muỗi đốt?
d2 có vecto chỉ phương là = (2; – 1).
Trong đó, = 1.2 + (- 2).(- 1) = 4 0.
Do đó, d1 và d2 không phải là hai đường thẳng vuông góc.
+ Ở câu C, ta có:
d1 có vecto chỉ phương là = (4; 3).
d2 có vecto chỉ phương là = (4; – 3).
Trong đó, = 4.4 + 3.(- 3) = 7 0.
Do đó, d1 và d2 không phải là hai đường thẳng vuông góc.
+ Ở câu D, ta có:
d1 có vecto chỉ phương là = (1; – 1).
d2 có vecto chỉ phương là = (1; 2)
Trong đó, = 1.1 + (- 1).2 = – 1 0.
Do đó, d1 và d2 không phải là hai đường thẳng vuông góc.
Chọn câu A
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trong các phát biểu sau đây, phát biểu đúng là:
- Trong 4 mặt bên của hình chóp S.ABCD có 1 mặt là tam giác vuông
- Trong 4 mặt bên của hình chóp S.ABCD có 2 mặt là tam giác vuông
- Trong 4 mặt bên của hình chóp S.ABCD có 3 mặt là tam giác vuông
- Trong 4 mặt bên của hình chóp S.ABCD có 4 mặt là tam giác vuông
ĐÁP ÁN
+ Tam giác SAD là tam giác vuông do SA AD.
+ Tam giác SAB là tam giác vuông do SA AB.
+ Tam giác SBC là tam giác vuông do: BC AB, BC SA suy ra BC (SAB) do đó BC SB (SAB).
+ Tam giác SDC là tam giác vuông do: CD AD, CD SA suy ra CD (SAD) do đó CD SD (SAD).
Chọn câu D
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trong các phát biểu sau đây, phát biểu sai là:
- AB và AC là hai đường thẳng vuông góc
- AB và SA là hai đường thẳng vuông góc
- AB và SB là hai đường thẳng vuông góc
- AB và SC là hai đường thẳng vuông góc
ĐÁP ÁN
+ Câu A đúng vì tam giác ABC vuông tại A nên AB và AC là hai đường thẳng vuông góc.
+ Câu B đúng vì SA (ABC) nên SA AB (ABC).
+ Câu D đúng vì AB AC và AB SA nên AB (SAC) suy ra AB SC (SAC).
Chọn câu C
Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm được cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc. Đồng thời vận dụng giải quyết nhiều bài tập liên quan hơn nữa.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp