Xem tài liệu

Bài viết này Vted sẽ trình bày lại lý thuyết, các dạng toán và phương pháp giải liên quan đến nghiệm phức của phương trình bậc hai hệ số thực

Vấn đề 1: Lý thuyết nghiệm phức của phương trình bậc hai hệ số thực

Xét trên tập số phức, phương trình bậc hai hệ số thực $a{{z}^{2}}+bz+c=0,left( a,b,cin mathbb{R};ane 0 right)$ luôn có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ (không nhất thiết phân biệt)

Định lí vi – ét cho phương trình bậc hai này là ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-dfrac{b}{a};{{z}_{1}}{{z}_{2}}=dfrac{c}{a}.$

Định lí vi ét đảo cho phương trình bậc hai:

Ngược lại một phương trình bậc hai nhận ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là nghiệm là ${{z}^{2}}-S.z+P=0$ với $S={{z}_{1}}+{{z}_{2}};P={{z}_{1}}{{z}_{2}}.$

Công thức nghiệm:

Xét biệt thức $Delta ={{b}^{2}}-4ac$ hoặc ${Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac$ với ${b}’=dfrac{b}{2}.$

+ Nếu $Delta ={{b}^{2}}-4acge 0$ phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1,2}}=dfrac{-bpm sqrt{Delta }}{2a}$ và các nghiệm này là các số thực

Khi đó $Aleft( {{z}_{1}} right),Bleft( {{z}_{2}} right)Rightarrow A,Bin Ox$

+ Nếu $Delta ={{b}^{2}}-4acvà các nghiệm này không là số thực

$Rightarrow $Quan sát công thức nghiệm ${{z}_{1,2}}=dfrac{-bpm sqrt{-Delta }.i}{2a}$ cho trường hợp này suy ra hai nghiệm luôn là liên hợp của nhau tức ${{z}_{2}}=overline{{{z}_{1}}}Rightarrow left| {{z}_{1}} right|=left| overline{{{z}_{1}}} right|=left| {{z}_{2}} right|$

và kết hợp vi – ét và môđun của tích: $left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} right|=left| {{z}_{1}} right|.left| {{z}_{2}} right|={{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}={{left| {{z}_{2}} right|}^{2}}Rightarrow left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{2}} right|=sqrt{left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} right|}=sqrt{dfrac{c}{a}}.$

Khi đó $Aleft( {{z}_{1}} right),Bleft( {{z}_{2}} right)Rightarrow A,Bin d:x=-dfrac{b}{2a}$

Kết hợp đẳng thức môđun cho hai số phức ta có:

$begin{gathered} 2{left| {{z_1}} right|^2} + 2{left| {{z_2}} right|^2} = {left| {{z_1} + {z_2}} right|^2} + {left| {{z_1} – {z_2}} right|^2} hfill \ Leftrightarrow 2{left( {left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|} right)^2} – 4left| {{z_1}{z_2}} right| = {left| {{z_1} + {z_2}} right|^2} + left| {{{({z_1} + {z_2})}^2} – 4{z_1}{z_2}} right|. hfill \ end{gathered} $

Vấn đề 2: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai hệ số thực bằng MTCT và thực hiện tính toán liên quan đến hai nghiệm này

+ Với các phương trình nghiệm phức bậc hai hệ số thực cụ thể các em sử dụng MTCT để tìm nghiệm

MENU 9 2 2 a = b = c = ta sẽ có nghiệm phức cần tìm

+ Để lưu các nghiệm phức khi giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc bốn bằng MTCT các em thao tác như sau:

Bước 1: STO A (lưu nghiệm MTCT hiện ra vào biến nhớ A)

Bước 2: MENU 2

+ Với các phương trình hệ số to MTCT cho nghiệm xấp xỉ, không thuận tiện tính toán. Các em kết hợp vận dụng vi – ét và tính chất đã đề cập trong phần tóm tắt lý thuyết Vấn đề 1.

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất, có hai nghiệm phân biệt,…

+ Phương trình có nghiệm duy nhất khi $Delta =0$

+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $Delta ne 0$

+ Phương trình có nghiệm thực khi $Delta ge 0$

+ Phương trình có nghiệm không là số thực khi $Delta

+ Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt khi $Delta >0$

+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt không là số thực khi $Delta

Vấn đề 4: Tìm điều kiện để phương trình có một nghiệm là z­­­0

Cách 1: Thay ${{z}_{0}}$ vào phương trình đã cho ta có: $a.z_{0}^{2}+b.{{z}_{0}}+c=0$ (giải phương trình hoặc so sánh hai số phức bằng nhau)

Cách 2: Áp dụng khi ${{z}_{0}}=x+yi,left( x,yin mathbb{R};yne 0 right)$ khi đó phương trình có nghiệm thứ hai $overline{{{z}_{0}}}=x-yi$

Theo vi – ét ta có [{{z}_{0}}+overline{{{z}_{0}}}=2x=-dfrac{b}{a};{{z}_{0}}.overline{{{z}_{0}}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=dfrac{c}{a}]

Vấn đề 5: Các bài toán biện luận nghiệm phức của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước

Phương pháp chung để thực hiện dạng toán này chúng ta sẽ chia thành 2 trường hợp chính:

TH1: $Delta ge 0Rightarrow $ Các nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các số thực tức ${{z}_{1}}=x;{{z}_{2}}=y,left( x,yin mathbb{R} right)$

TH2: $Delta

+ Ngoài ra trong một số bài toán cụ thể các em không cần chia trường hợp sẽ nhanh hơn:

VD: Điều kiện $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=2Leftrightarrow {{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=2$ ta chỉ cần dùng vi – ét cho ngay kết quả.

Một số biểu thức đối xứng sử dụng được vi – ét:

$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}$

${{left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right)}^{2}}={{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}$

$z_{1}^{3}+z_{2}^{3}={{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)}^{3}}-3{{z}_{1}}{{z}_{2}}left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)$

Xem thêm : Cách trị nám bằng bột nghệ cực hiệu quả ngay khi nám mới hình thành

${{left( left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right| right)}^{2}}={{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{2}} right|}^{2}}+2left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} right|=dfrac{1}{2}left( {{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}} right)+2left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} right|$

+ Một số bài toán tìm chính xác nghiệm thông qua công thức nghiệm trong vấn đề 1 cho kết quả nhanh hơn:

VD: Phương trình ${{z}^{2}}+2az+5{{a}^{2}}=0,left( ane 0 right)$ tìm được ${{z}_{1}}=-a-2a.i;{{z}_{2}}=-a+2a.i$ đến đây thay vào yêu cầu bài toán sẽ cho kết quả nhanh hơn.

Ví dụ 1: Cho số phức $w$ biết rằng ${{z}_{1}}=w+2i$ và ${{z}_{2}}=2w-3$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Tính $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|.$

A. $T=2sqrt{13}.$

B. $T=dfrac{10}{3}.$

C. $T=4sqrt{13}.$

D. $T=dfrac{2sqrt{97}}{3}.$

Giải. Đặt $w=x+yi,left( x,yin mathbb{R} right)Rightarrow {{z}_{1}}=w+2i=x+left( y+2 right)i;{{z}_{2}}=2w-3=left( 2x-3 right)+2yi$

+ Nếu ${{z}_{1}},{{z}_{2}}in mathbb{R}Leftrightarrow y+2=0;2y=0$ (vô nghiệm)

+ Nếu ${z_1},{z_2} notin mathbb{R} Rightarrow {z_1} = overline {{z_2}} Leftrightarrow left{ begin{gathered} x = 2x – 3 hfill \ y + 2 = – 2y hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} x = 3 hfill \ y = – dfrac{2}{3} hfill \ end{gathered} right.$

$Rightarrow T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|=2sqrt{{{x}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}}=2sqrt{{{3}^{2}}+{{left( -dfrac{2}{3}+2 right)}^{2}}}=dfrac{2sqrt{97}}{3}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+2left( m+3 right)z+16m=0$ ($m$ là tham số thực ). Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $m$ để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}}+1 right|=left| {{z}_{2}}+1 right|.$ Tính tổng các phần tử của $S.$

A. $32.$

B. $33.$

C. $35.$

D. $30.$

Giải. Ta có ${Delta }’={{left( m+3 right)}^{2}}-16m.$ Vì đề bài yêu cầu hai nghiệm phân biệt nên ta xét ${Delta }’>0;{Delta }'

TH1: Nếu $Delta ‘ > 0 Rightarrow {z_1},{z_2} in mathbb{R} Rightarrow left| {{z_1} + 1} right| = left| {{z_2} + 1} right| Leftrightarrow left[ begin{gathered} {z_1} + 1 = {z_2} + 1 hfill \ {z_1} + 1 = – {z_2} – 1 hfill \ end{gathered} right.$

$ Leftrightarrow left[ begin{gathered} {z_1} = {z_2}left( L right) hfill \ {z_1} + {z_2} = – 2 hfill \ end{gathered} right. Rightarrow – 2left( {m + 3} right) = – 2 Leftrightarrow m = – 2$ (thoả mãn).

TH2: Nếu ${Delta }'

$Rightarrow left| {{z}_{1}}+1 right|=left| {{z}_{2}}+1 right|Leftrightarrow {{left( x+1 right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( -y right)}^{2}}$ (luôn đúng).

Vậy $min left{ -2,2,…,8 right}Rightarrow sum{m}=33.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình ${{z}^{2}}-left( a-4 right)z+{{a}^{2}}-a=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|?$

A. $3.$

B. $4.$

C. $1.$

D. $2.$

Giải. Ta có $left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|Leftrightarrow {{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}={{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}}=left| {{left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right)}^{2}} right|=left| {{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}} right|$

$Leftrightarrow {{left| a-4 right|}^{2}}=left| {{left( a-4 right)}^{2}}-4left( {{a}^{2}}-a right) right|Leftrightarrow left[ begin{gathered}hfill {{left( a-4 right)}^{2}}={{left( a-4 right)}^{2}}-4left( {{a}^{2}}-a right) \ hfill {{left( a-4 right)}^{2}}=-{{left( a-4 right)}^{2}}+4left( {{a}^{2}}-a right) \ end{gathered} right.Leftrightarrow ain left{ -8,0,1,2 right}.$ Chọn đáp án B.

Vấn đề 6: Các bài toán hình học liên quan đến điểm biểu diễn của nghiệm phức

+ Điều kiện là tam giác: 3 điểm phân biệt không thẳng hàng

+ Điều kiện là tam giác vuông, cân, đều,… đưa về điều kiện với độ dài cạnh

+ Diện tích tam giác:

Cách 1: Sử dụng công thức tính nhanh: Nếu $overrightarrow{AB}left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),overrightarrow{AC}left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)Rightarrow {{S}_{ABC}}=dfrac{1}{2}left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} right|.$

Cách 2: Dùng công thức khoảng cách: ${{S}_{ABC}}=dfrac{1}{2}AB.dleft( C,AB right)$ trong đó khoảng cách từ điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ đến đường thẳng $d:ax+by+c=0$ được tính theo công thức $dleft( M,d right)=dfrac{left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

Xét phương trình bậc hai hệ số thực: $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm phức là ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và $Aleft( {{z}_{1}} right),Bleft( {{z}_{2}} right),Cleft( m+ni right)$

TH1: Nếu ${{z}_{1}}=x;{{z}_{2}}=y,left( x,yin mathbb{R} right)Rightarrow A,Bin OxRightarrow {{S}_{ABC}}=dfrac{1}{2}AB.dleft( C,Ox right)=dfrac{1}{2}left| left( x-y right)n right|$

TH2: Nếu ${{z}_{1}}={{x}_{0}}+{{y}_{0}}i;{{z}_{2}}={{x}_{0}}-{{y}_{0}}i,left( {{x}_{0}},{{y}_{0}}in mathbb{R} right)Rightarrow A,Bin d:x={{x}_{0}}$

$Rightarrow {{S}_{ABC}}=dfrac{1}{2}AB.dleft( C,d right)=left| {{y}_{0}}left( m-{{x}_{0}} right) right|$

Cách 3: Dùng Hệ thức lượng trong tam giác chẳng hạn công thức Herong (thầy ít dùng)

+ Bán kính ngoại tiếp, bán kính nội tiếp,… dùng hệ thức lượng trong tam giác

Vấn đề 7: Phương trình trùng phương hệ số thực

Xem thêm : #1 Tài Chính Công Là Gì? Tìm Hiểu Đặc Điểm Và Vai Trò?

Xét trên tập số phức, phương trình trùng phương hệ số thực $a{{z}^{4}}+b{{z}^{2}}+c=0,text{ }left( a,b,cin mathbb{R},ane 0 right)$ luôn có bốn nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}$ (không nhất thiết phân biệt)

Để biện luận, giải phương trình này ta đặt ẩn phụ: $t={{z}^{2}}Rightarrow a{{t}^{2}}+bt+c=0text{ }left( 1 right)$ và thực hiện như phương trình bậc hai hệ số thực

+ Nếu $Delta ={{b}^{2}}-4acge 0Rightarrow left( 1 right)$ có hai nghiệm phức ${{t}_{1,2}}=dfrac{-bpm sqrt{Delta }}{2a}$ là các số thực

Khi đó $left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{2}} right|=sqrt{left| {{t}_{1}} right|}=sqrt{left| dfrac{-b+sqrt{Delta }}{2a} right|};left| {{z}_{3}} right|=left| {{z}_{4}} right|=sqrt{left| {{t}_{2}} right|}=sqrt{left| dfrac{-b-sqrt{Delta }}{2a} right|}$

+ Nếu $Delta ={{b}^{2}}-4ac

Khi đó $left| {{t}_{1}} right|=left| {{t}_{2}} right|=sqrt{left| {{t}_{1}}{{t}_{2}} right|}=sqrt{dfrac{c}{a}}Rightarrow left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{2}} right|=left| {{z}_{3}} right|=left| {{z}_{4}} right|=sqrt{left| {{t}_{1}} right|}=sqrt{left| {{t}_{2}} right|}=sqrt[4]{dfrac{c}{a}}$

Vấn đề 8: Mở rộng cho phương trình đa thức bậc n hệ số thực (tham khảo thêm)

Trên tập số phức, đa thức [Pleft( z right)={{a}_{n}}{{z}^{n}}+…+{{a}_{1}}z+{{a}_{0}},text{ }left( {{a}_{k}}in mathbb{R};{{a}_{n}}ne 0 right)] luôn có $n$ nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt) là ${{z}_{1}},{{z}_{2}},…,{{z}_{n}}$

+ Phân tích nhân tử ta có: $Pleft( z right)={{a}_{n}}left( z-{{z}_{1}} right)left( z-{{z}_{2}} right)…left( z-{{z}_{n}} right)$

$Rightarrow Pleft( -z right)={{left( -1 right)}^{n}}{{a}_{n}}left( z+{{z}_{1}} right)left( z+{{z}_{2}} right)…left( z+{{z}_{n}} right)$

$ Rightarrow Pleft( z right).Pleft( { – z} right) = {left( { – 1} right)^n}a_n^2left( {{z^2} – z_1^2} right)left( {{z^2} – z_2^2} right)…left( {{z^2} – z_n^2} right) = a_n^2left( {z_1^2 – {z^2}} right)left( {z_2^2 – {z^2}} right)…left( {z_n^2 – {z^2}} right)$

+ Vi – ét tổng quát: $sumlimits_{1le {{i}_{1}}

Hay dùng nhất là ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+…+{{z}_{n}}=-dfrac{{{a}_{n-1}}}{{{a}_{n}}}$ và ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}…{{z}_{n}}={{left( -1 right)}^{n}}dfrac{{{a}_{0}}}{{{a}_{n}}}.$

+ Nếu $Pleft( z right)$ có một nghiệm phức ${{z}_{1}}=x+yi,left( x,yin mathbb{R};yne 0 right)$ thì sẽ có nghiệm ${{z}_{2}}=overline{{{z}_{1}}}=x-yi.$

Ví dụ 1: Biết trên tập số phức, phương trình [{{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+6z+b=0,left( a,bin mathbb{R} right)] có 3 nghiệm [{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}] trong đó [{{z}_{1}}=5+i]. Khi đó [{{left| {{z}_{2}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{3}} right|}^{2}}] bằng

A. [28.]

B. [26.]

C. [30.]

D. [32.]

Giải. Các hệ số của phương trình đều là số thực nên khi phương trình có một nghiệm là ${{z}_{1}}=5+i$ thì nghiệm thứ hai là ${{z}_{2}}=overline{{{z}_{1}}}=5-i.$

Theo vi ét ta có ${{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}=6Rightarrow {{z}_{3}}left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=6$

$Leftrightarrow {{z}_{3}}left[ left( 5+i right)+left( 5-i right) right]+left( 5+i right)left( 5-i right)=6Leftrightarrow 10{{z}_{3}}+26=6Leftrightarrow {{z}_{3}}=-2.$

Vậy [{{left| {{z}_{2}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{3}} right|}^{2}}=26+4=30.] Chọn đáp án C.

Cách 2: Phương trình [{{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+6z+b=0,left( a,bin mathbb{R} right)] có một nghiệm là [{{z}_{1}}=5+i].

[Leftrightarrow {{left( 5+i right)}^{3}}+a{{left( 5+i right)}^{2}}+6left( 5+i right)+b=0.]

[Leftrightarrow 110+74i+aleft( 24+10i right)+6left( 5+i right)+b=0.]

[Leftrightarrow left( 140+24a+b right)+left( 80+10a right)i=0.]

[ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {140 + 24a + b = 0} \ {80 + 10a = 0} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a = – 8} \ {b = 52} end{array}} right..]

Phương trình [{{z}^{3}}-8{{z}^{2}}+6z+52=0] có 3 nghiệm [{{z}_{1}}=5+i], [{{z}_{2}}=5-i], [{{z}_{3}}=-2].

[Rightarrow {{left| {{z}_{2}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{3}} right|}^{2}}=left[ {{5}^{2}}+{{left( -1 right)}^{2}} right]+{{left( -2 right)}^{2}}=30.] Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho số phức $w$ biết rằng ${{z}_{1}}=w+3i,{{z}_{2}}=w+9i$ và ${{z}_{3}}=2w-4$ là ba nghiệm của phương trình ${{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c=0$ (với $a,b,c$ là các số thực). Khi đó $T=left| a+b+c right|$ bằng

A. $112.$

B. $304.$

C. $136.$

D. $280.$

Giải. Đặt $w=x+yi,left( x,yin mathbb{R} right)Rightarrow {{z}_{1}}=x+left( y+3 right)i;{{z}_{2}}=x+left( y+9 right)i;{{z}_{3}}=2x-4+2yi$

Theo vi – ét có ${z_1} + {z_2} + {z_3} = 4x – 4 + left( {4y + 12} right)i = – a Leftrightarrow left{ begin{gathered} 4x – 4 = – a hfill \ 4y + 12 = 0 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = – 4x + 4 hfill \ y = – 3 hfill \ end{gathered} right.$

Sử dụng ${{z}_{3}}=overline{{{z}_{2}}}Leftrightarrow 2x-4=xLeftrightarrow x=4Rightarrow {{z}_{1}}=4;{{z}_{2}}=4+6i;{{z}_{3}}=4-6i$

Theo vi – ét có $a=-left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} right)=-12;b={{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}=84;c=-{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}=-208$

$Rightarrow T=left| a+b+c right|=left| -12+84-208 right|=136.$ Chọn đáp án C.

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp