Biên soạn: Nhóm toán -Trường THCS phong Vân- Lục ngạn- Bắc giang
Chuyên đề: Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên
I. Kiến thức cơ bản
1. Quan hệ chia hết trên tập số nguyên
Cho hai số nguyên a, b. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=b.q thì ta nói rằng a chia hết cho b(kí hiệu ) , hay b chia hết a (kí hiệu b|a). Khi đó người ta cũng gọi a là bội số (hay đơn giản là bội) của b, còn b là ước số (hay đơn giản là ước) của b.
Ví dụ: 15 = 5.3, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3 là ước của 15
Đặc biệt, số 0 chia hết cho mọi số khác không, số 1 chia hết mọi số nguyên, mỗi số nguyên khác 0 chia hết cho chính nó. Chính từ đó, mọi số nguyên khác 1 có ít nhất hai ước là 1 và chính nó. Nếu số nguyên b|a thì số đối của nó -b cũng là ước của a. Do đó trong nhiều trường hợp, nếu n à số tự nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên của n. Một số tự nhiên khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố.
Các số tự nhiên lớn hơn 1, không là số nguyên tố được gọi là hợp số.
Một ước số của n được gọi là không tầm thường nếu nó khác 1, -1, n, -n. Số nguyên tố thì không có ước số không tầm thường. 1, -1, n, -n là các ước tầm thường của n.
2. Định lí về phép chia có dư
Cho a, b là hai số nguyên (b 0), khi đó tồn tại duy nhất hai số nguyên q, r sao cho a= bq+r với 0 ≤ r <|b|. Ta có a là số bị chia, b là số chia, q là thương số và r là số dư. Khi chia a cho b có thể có số dư là 0; 1; 2;…; |b|-1. (Kí hiệu |b| là giá trị tuyệt đối của b.)
Đặc biệt nếu r = 0 thì a = bq, khi đó a chia hết cho b.
Nếu r 0 thì phép chia a cho b là phép chia có dư
3. Tính chất
Với a,b,c,d Z :
-Nếu a 0 thì a a ; 0 a
-Nếu a b và b c thì a c
-Nếu a b và b a thì a= b
-Nếu a b thì a.c b
-Nếu a b, a c thì a BCNN(b;c)
Hệ quả: Nếu a b ; a c và (b,c)=1 thì a bc
-Nếu ab c và (b,c)=1 thì a c
-Nếu a c ; b c thì a b c
-Nếu a c ; b c thì a b c
-Nếu a c , b d thì ab cd
Hệ quả : Nếu a b thì an bn (n N ; n 0)
-Nếu a c hoặc b c thì ab c
4. Dấu hiệu chia hết
– Các số có chữ số tận cùng bằng chữ số chẵn thì chia hết cho 2
-Các số có chữ số tận cùng là 0 và 5 thì chia hết cho 5
-Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
– Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
-Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4
-Các số có 3 chữ số tận cùng tạo thành chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8
– Các số có tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ mà chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11
5. C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt.
*PP1: Sử dụng các dấu hiệu chia hết
*PP 2: §Ó chøng minh A b (b ). Ta biÓu di�”n A = b. k trong ®ã k N
*PP 3. Sö dông hÖ qu¶ tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng.
NÕu a b m vµ a m th× b m.
*PP 4. §Ó chøng minh mét biÓu thøc chøa ch÷ (gi· sö chøa n) chia hÕt cho b(b kh¸c 0) ta cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d khi chia n cho b.
*PP 5. §Ó chøng minh A b. Ta biÓu di�”n b díi d¹ng b = m.n. Khi ®ã.
+ NÕu (m,n) = 1 th× t×m c¸ch chøng minh A m vµ A n suy ra A m.n hay A b.
+ NÕu (m,n) 1 ta biÓu di�”n A = a1.a2 råi t×m c¸ch chøng minh a1 m; a2 n th× tÝch a1.a2 m.n suy ra A b.
*PP 6. §Ó chøng minh A b ta biÓu di�”n vµ chøng minh c¸c
II. Các ví dụ giải toán
Bài tập 1: không làm phép tính hãy cho biết các số sau có chia hết cho 2 không?
a. A=2001+2002 b. B= 20022001-20012000
Giải:
a. Số 2001 không chia hết cho 2 , còn 2002 chia hết cho 2 , do đó tổng A không chia hết cho 2
b. Ta có 20022001=2002. 20022000=2.1001.20022000 2
Trước hết ta chứng minh tích của hai số lẻ là một số lẻ .Giả sử 2 số lẻ là:
(2k+1)(2m+1)=2k(2m+1) +2m+1
Ta thấy 2k(2m+1) 2 ; 2m 2 , 1 không chia hết cho 2
Do đó là một số lẻ
Vì 20012000 là tích của 2000 số lẻ cũng là một số lẻ.
Suy ra B không chia hết cho 2
Bài tập 2: Dùng 4 chữ số 0;1;2;5 có tạo thành bao nhiêu số có 4 chữ số, mỗi chữ số đã cho chỉ dùng 1 lần sao cho:
a, Các số đó chia hết cho 2.
b,Các số đó chia hết cho 5
c.Các số chia hết cho 3
Giải:
a. Các số có chữ số 0 là tận cùng gồm các số: 1520; 1250; 2150; 1250; 5120; 5210
Các số có chữ số 2 tận cùng gồm các số:5102; 5012; 1502; 1052
Vậy các số được tạo thành thỏa mãn điều kiện đề bài chia hết cho 2 là 10 số
b. Các số tận cùng là 5 có 4 số và các số tận cùng là 0 có 6 số . Vậy các số tạo thành chia hết cho 5 là 10 số.
b. Các số chia hết cho 3 gồm các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 , không có số nào.
Bài tập 3: Cho A = 12 + 15 + 21 + x víi x N.
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A 3, A 3.
Gi¶i:
– Trêng hîp A 3
V× 12 3 ; 15 3 ; 21 3 nªn A 3 th× x 3.
– Trêng hîp A 3.
V× 12 3 ; 15 3 ; 21 3 nªn A 3 th× x 3.
Bài tập 4: :Khi chia số tự nhiên a cho 24 ®îc sè d lµ 10. Hái sè a cã chia hÕt cho 2 kh«ng, cã chia hÕt cho 4 kh«ng?
Gi¶i:
Sè a cã thÓ ®îc biÓu di�”n lµ: a = 24.k + 10.
Ta cã: 24.k 2 , 10 2 Þ a 2.
24. k 4 , 10 4
Þ a 4.
Bài tập 5: Chøng tá r»ng:
a/ Tæng ba STN liªn tiÕp lµ mét sè chia hÕt cho 3.
b/ Tæng bèn STN liªn tiÕp lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho 4.
Gi¶i:
a/ Tæng ba STN liªn tiÕp lµ:
a + (a + 1) + (a + 2 ) = 3.a + 3 chia hÕt cho 3
b/ Tæng bèn STN liªn tiÕp lµ:
a + (a + 1) + (a + 2 ) + (a + 4)= 4.a + 6
kh«ng chia hÕt cho 4.
Bài tập 6: Cho n= . Hãy thay a, b bởi các chữ số thích hợp để n 5 và n 9
Giải
Để n chia hết cho 5 thì b=0 hoặc b=5
Nếu b=0 thì
Khi a=1, ta có số phải tìm là 13410
Nếu b=5 thì n= khi a=6 . Khi đó số phải tìm là 13465
KL: Ta có các số 13410 và 13465
III> Bài tập áp dụng
Bài 1: Trong các số: 4827; 5670; 6915; 2007.
a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?
Bài 2: Trong các số: 825; 9180; 21780.
a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?
Bài 3:
a) Cho A = 963 + 2493 + 351 + x với x Î N. Tìm điều kiện của x để A chia hết cho 9, để A không chia hết cho 9.
b) Cho B = 10 + 25 + x + 45 với x Î N. Tìm điều kiện của x để B chia hết cho 5, B không chia hết cho 5.
Bài 4 Không cần làm phép tính, hãy cho biết các số sau có chia hết cho 5 không?
a. A=1999-1975 b. B= 20002001 +20012002
Bài 5:
a) Thay * bằng các chữ số nào để được số 73* chia hết cho cả 2 và 9.
b) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 5.
c) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
d) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 3.
e) Thay * bằng các chữ số nào để được số 792* chia hết cho cả 3 và 5.
f) Thay * bằng các chữ số nào để được số 25*3 chia hết cho 3 và không chia hết cho 9.
g) Thay * bằng các chữ số nào để được số 79* chia hết cho cả 2 và 5.
h) Thay * bằng các chữ số nào để được số 12* chia hết cho cả 3 và 5.
i) Thay * bằng các chữ số nào để được số 67* chia hết cho cả 3 và 5.
j) Thay * bằng các chữ số nào để được số 277* chia hết cho cả 2 và 3.
k) Thay * bằng các chữ số nào để được số 5*38 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
l) Thay * bằng các chữ số nào để được số 548* chia hết cho cả 3 và 5.
m) Thay * bằng các chữ số nào để được số 787* chia hết cho cả 9 và 5.
n) Thay * bằng các chữ số nào để được số 124* chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
o) Thay * bằng các chữ số nào để được số *714 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Bài 6: Tìm các chữ số a, b để:
a) Số 4a12b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
b) Số 5a43b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
c) Số 735a2b chia hết cho cả 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2.
d) Số 5a27b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
e) Số 2a19b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
f) Số 7a142b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
g) Số 2a41b chia hết cho cả 2; 5 và 9.
h) Số 40ab chia hết cho cả 2; 3 và 5.
Bài 7: Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và
953 < n < 984.
Bài 8:
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số sao cho số đó chia hết cho 9.
b) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số sao cho số đó chia hết cho 3.
Bài 9: khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư là 12 hỏi a có chia hết cho 4 không? Có chia hết cho 9 không?
Bài 10*:
a) Từ 1 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 5.
b) Tổng 1015 + 8 có chia hết cho 9 và 2 không?
c) Tổng 102010 + 8 có chia hết cho 9 không?
d) Tổng 102010 + 14 có chí hết cho 3 và 2 không
e) Hiệu 102010 – 4 có chia hết cho 3 không?
Bài 11*:
a) Chứng tỏ rằng ab(a + b) chia hết cho 2 (a;b Î N).
b) Chứng minh rằng ab + ba chia hết cho 11.
c) Chứng minh aaa luôn chia hết cho 37.
d) Chứng minh aaabbb luôn chia hết cho 37.
e) Chứng minh ab – ba chia hết cho 9 với a > b
Bài 12: Tìm x Î N, biết:
a) 35 x
c) 15 x
b) x 25 và x < 100.
d*) x + 16 x + 1.
Bài 13*:
a) Chứng tỏ rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
b) Chứng tỏ rằng trong bốn số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 4.
Bµi 14
Chøng minh r»ng víi mäi n N th× 60n +45 chia hÕt cho 15 nhng kh«ng chia hÕt cho 30.
Bµi 15: Chøng minh r»ng: a) b) víi a>b.
Hìng dÉn:
ViÕt c¸c sè ab vµ ba thµnh tæng c¸c lòy thõa cña 10 sau ®ã da vÒ d¹ng 11.Q vµ 9.Q
Bµi 16 : Chøng minh r»ng:
a) A =1 + 2 + 22 + 23 + 24 +…+239 lµ béi cña 15
b, T = 1257 -259 lµ béi cña 124
c) M =
d) P = víi a,n N
gîi ý :
a, nhãm 4 h¹ng tö liªn tiÕp víi nhau cã tæng c¸c h¹ng tö cã thõa sè 15
b, ®a vÒ cïng c¬ sè 5 vËn dông tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n víi phÐp trõ
c, d t¬ng tù c¸ch lµm c©u a
Bµi 17: Cho a,b N vµ a – b 7 . CMR 4a +3b 7.
Gîi ý:
a – b 7 ó 4 (a – b) 7 ó 4a – 4b 7 ó 4a + 3b -7b 7 => 4a + 3b 7 (v× 7b 7)
Bµi 18: T×m n N ®Ó.
a) n + 6 n ; 4n + 5 n ; 38 – 3n n
b) n + 5 n + 1 ; 3n + 4 n – 1 ; 2n + 1 16 – 3n
gîi ý:
vËn dông tÝnh chÊt chia hÕt cña tæng vµ hiÖu
Bµi 19. Chøng minh r»ng: (5n)100 125
Gîi ý:
(5n)100 = 5100. n100 = 53.597.n100 125
Bµi 20.
1. Cho S = 3 +32 +33 +…+ 31998 . CMR
a) S 12 ; b) S 39
2. Cho B = 3 +32 +33 +…+ 31000; CMR B 120
3.Cho A = 2 + 22 + 23 +… + 22004 . CMR A chia hÕt cho 7;15;3
Bµi 21. Chøng minh r»ng:
a) 3636 – 910 45 ; b) 810 – 89 – 88 55 ; c) 55 – 54 + 53 7
d) e)
g) h) i)
Bµi 22. T×m n N ®Ó :
a) (3n + 2) (n – 1) b) (n2 + 2n + 7 ) (n + 2) c) (n2 + 1) (n – 1)
d)( n + 8) (n + 3) e) (n + 6) (n – 1) g) (4n – 5) (2n – 1)
Bµi 23. CMR:
a) TÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2.
b) TÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6.
c) TÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24.
d) TÝch cña 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120.
(Chó ý: Bµi to¸n trªn ®îc sö dông trong CM chia hÕt, kh«ng cÇn CM l¹i)
Bµi 24. CMR: m + 4n 13 10m + n 13.
Gîi ý:
m + 4n 13 ó 10(m + 4n) 13 ó 10m + 40 n 13 ó 10m + n + 39n 13
ó 10m + n 13 (v× 39n 13)
Tải chuyên đề về tại đây
bình nóng lạnh ariston 20l , bình nóng lạnh rossi 20l , bình nóng lạnh
picenza 20l , Bình nóng lạnh ferroli 30l
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp