Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân chi tiết, dễ hiểu

Bài viết Các công thức về cấp số nhân đầy đủ nhất Toán lớp 11 hay nhất gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập minh họa áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Các công thức về cấp số nhân đầy đủ nhất.

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

Bạn đang xem: Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân chi tiết, dễ hiểu

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un = un-1 . q với n ∈ N*

Đặc biệt:

– Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1; 0; 0; … 0; …

– Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1; u1; … u1;…

– Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) được xác định bởi công thức:

un = u1 . qn – 1 với ∀n ∈ N*, n ≥ 2

c) Tính chất

Ba số hạng uk – 1, uk, uk + 1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk2 = uk-1.uk+1 với k ≥ 2

d) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1; u1; u1; … u1;.. khi đó Sn = n.u1.

2. Công thức

Xem thêm :

– Công thức truy hồi: un = un-1 . q với n ∈ N*

– Công thức số hạng tổng quát: un = u1 . qn – 1 với ∀n ∈ N, n ≥ 2

– Ba số hạng uk – 1, uk, uk + 1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk2 = uk-1.uk+1 với k ≥ 2

– Tổng n số hạng đầu tiên:

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, q = – 2.

a) Tính số hạng thứ 25 của cấp số nhân.

b) Số 49152 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải

a) Số hạng thứ 25 của cấp số cộng: u25 = u1 . q25-1 = 3.(- 2)24 = 3.224.

b) Gọi số hạng thứ k là số 49152, ta có

uk = u1.qk-1 = 49152

⇔ 3.(-2)k-1 = 49152

⇔ (-2)k-1 = 16384 = (-2)14

⇔ k = 15

Vậy số 49152 là số hạng thứ 15 của cấp số nhân.

Xem thêm : Blog

c) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn:

a) Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

c) Tính tổng S = u1 + u3 + u5 +u7 +…+ u201.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Vậy u1 = 16 và q = 2.

b) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

c) Dãy số là (vn): u1; u3; u5; u7; … u201 là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 và công bội

Dãy (vn) có số hạng

4. Giải đáp thắc mắc

4.1 Cấp số nhân là gì và cách xác định công thức tổng của nó?

Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số sau đó đều bằng một hằng số gọi là công bội nhân với số trước đó để thu được số tiếp theo. Công thức tổng của cấp số nhân là S_n = a * (1 – r^n) / (1 – r), trong đó S_n là tổng n số đầu tiên của cấp số nhân, n là số lượng số trong dãy, a là số hạng đầu tiên và r là công bội.

4.2 Các tính chất đặc biệt của cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân có các tính chất đặc biệt như tổng n số đầu tiên, tổng vô hạn và hạn chế của cấp số nhân. Khi giá trị của công bội nhân r nằm trong khoảng -1 đến 1, cấp số nhân hội tụ về một giá trị cố định khi số lượng số trong dãy tiến tới vô cùng.

4.3 Cách tính số hạng thứ n trong cấp số nhân?

Để tính số hạng thứ n trong cấp số nhân, ta sử dụng công thức a_n = a * r^(n-1), trong đó a_n là số hạng thứ n, a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số thứ tự của số hạng cần tính.

4.4 Ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế là gì?

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế như trong tài chính, kinh tế, khoa học máy tính, xử lý tín hiệu, và nhiều lĩnh vực khác. Ví dụ, trong tài chính, cấp số nhân được sử dụng để tính lãi suất lũy tiến; trong khoa học máy tính, nó được áp dụng trong các thuật toán tối ưu và mã hóa thông tin.

Trên đây là một số chia sẻ của công ty Luật ACC về Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân chi tiết, dễ hiểu. Nếu có bất kỳ thắc mắc hoặc vấn đề nào liên quan đến vấn đề này hãy liên hệ với ACC để được giải đáp nhé!

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp