Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.
1. Định nghĩa
– Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.
Quan sát hình vẽ trên, ta có:
+ Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;
+ Đường thẳng d ⊥ AB tại I.
Do đó, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ví dụ: Trong các hình dưới đây, hãy chỉ ra các đường trung trực trong mỗi hình (nếu có):
Hướng dẫn giải
– Quan sát hình 1, ta thấy:
Đường thẳng a ⊥ AB tại C nhưng đường thẳng a không đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.
Do đó, đường thẳng a không là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
– Quan sát hình 2, ta thấy:
Đường thẳng b ⊥ DE tại F và đường thẳng b đi qua trung điểm F của đoạn thẳng DE.
Do đó, đường thẳng b là đường trung trực của đoạn thẳng DE.
– Quan sát hình 3, ta thấy:
Đường thẳng c đi qua trung điểm I của đoạn thẳng GH nhưng đường thẳng c không vuông góc với đoạn thẳng GH.
Do đó, đường thẳng c không là đường trung trực của đoạn thẳng GH.
2. Tính chất
– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Quan sát hình trên, ta có:
Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng DE;
Điểm O nằm trên đường thẳng a.
Khi đó ta có OD = OE.
Ví dụ: Qua trung điểm O của AB kẻ đường trung trực d. Trên d lấy hai điểm E và F sao cho O nằm giữa E và F. Chứng minh rằng EAF^=EBF^ .
Hướng dẫn giải
Vì E và F nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB (giả thiết)
Nên EA = EB và FA = FB (tính chất đường trung trực)
Xét ∆EAF và ∆EBF ta có:
EA = EB (chứng minh trên),
FA = FB (chứng minh trên),
EF là cạnh chung.
Suy ra ∆EAF = ∆EBF (c.c.c)
Do đó EAF^=EBF^ (hai góc tương ứng).
Vậy EAF^=EBF^ .
– Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, M là điểm sao cho MA = MB (như hình vẽ bên dưới). Ta có M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
Ví dụ: Cho ∆ABC cân tại A có BAC^=80° , đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính ADB^.
Hướng dẫn giải
∆ABC cân tại A nên B^=C^ (tính chất tam giác cân).
Xét ∆ABC có BAC^+B^+C^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay 80°+B^+B^=180° (vì B^=C^ )
Suy ra 2B^=180°−80°=100°
Suy ra B^=100°:2=50°.
Theo bài ta có D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB.
Suy ra ∆DAB cân tại D.
Do đó B^=BAD^=50°(tính chất tam giác cân)
Xét ∆DAB có: B^+BAD^+ADB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)
Hay ADB^=180°−B^−ABD^=180°−50°−50°=80°
Xem thêm : Top 15 kem dưỡng da mặt tốt nhất hiện nay được nhiều người tin dùng
Vậy ADB^=80° .
3. Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng
Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết AB = a cm.
Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta làm theo các bước:
Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = a cm.
Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính R (biết R > a2 ).
Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính R (biết R > a2 ), cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.
Bước 4: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 1. Cho ∆MNP có MN = 3cm; N^=40° và MO là đường trung trực của NP (O nằm trên NP). Tính độ dài MP và số đo OMP^
Hướng dẫn giải
Ta có MO là đường trung trực của NP (giả thiết) nên M nằm trên đường trung trực của NP.
Do đó MN = MP = 3cm (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Xét ∆MNP có MN = MP nên ∆MNP cân tại M
Suy ra P^=N^=40° (tính chất tam giác cân).
Vì MO là đường trung trực của NP nên MO ⊥ NP tại O.
Suy ra ∆MOP vuông tại O
Nên OMP^+P^=90° (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).
Hay OMP^+40°=90°
Suy ra OMP^=90°−40°=50°
Vậy MP = 3cm và OMP^=50° .
Bài 2. Cho xOy^=30° . Trên tia Ox lấy điểm E, trên tia Oy lấy điểm F. Lấy điểm D sao cho OF là đường trung trực của ED.
a) Chứng minh OFE^=OFD^;
b) Chứng minh: ∆OED đều.
Hướng dẫn giải
Vì OF là đường trung trực của ED (giả thiết)
Nên OE = OD và FE = FD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Xét ∆OEF và ∆ODF có:
OE = OD (chứng minh trên),
FE = FD (chứng minh trên),
OF là cạnh chung.
Do đó ∆OEF = ∆ODF (c.c.c)
Suy ra OFE^=OFD^(hai góc tương ứng).
Vậy OFE^=OFD^ .
b) Theo phần a ta có: ∆OEF = ∆ODF nên EOF^=DOF^=30° (hai góc tương ứng)
Ta lại có EOD^=EOF^+FOD^=30°+30°=60°
Xét ∆OED có OE = OD nên ∆OED cân tại O.
Mà ∆OED cân tại O có EOD^=60° (chứng minh trên)
Do đó ∆OED đều.
Vậy ∆OED là tam giác đều.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) AH là trung trực của EF;
b) AH là trung trực của BC.
Hướng dẫn giải
a) Vì BE là phân giác của ABC^ nên ABE^=CBE^=12ABC^ (1)
CF là phân giác ACB^ của nên ACF^=FCB^=12ACB^ (2)
Mà ABC^=ACB^ (vì ∆ABC cân tại A) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra ABE^=ACF^
• Xét ∆ABE và ∆ACF có:
AB = AC (vì ∆ABC cân tại A),
Xem thêm : Cây vạn niên thanh hợp mệnh gì, tuổi gì? Ý nghĩa phong thủy ít người biết đến
ABE^=ACF^ (chứng minh trên),
AH là cạnh chung.
Do đó ∆ABE = ∆ACF (c.g.c)
Suy ra AE = AF (hai cạnh tương ứng)
Suy ra A nằm trên đường trung trực của EF(4)
• Vì AB = AC và AF = AE (chứng minh trên)
Nên AB – AF = AC – AE
Hay BF = CE.
• Vì ∆ABE = ∆ACF (chứng minh trên)
Nên AEB^=AFC^(hai góc tương ứng)
Mà AEB^+CEB^=180°(hai góc kề bù)
AFC^+BFC^=180°(hai góc kề bù)
Do đó CEB^=BFC^hay CEH^=BFH^
• Xét ∆BFH và ∆CEH có:
BFH^=CEH^(chứng minh trên),
BF = CE (chứng minh trên),
FBH^=ECH^(do ABE^=ACF^ ).
Do đó ∆BFH = ∆CEH (g.c.g)
Suy ra HF = HE (hai cạnh tương ứng)
Suy ra H nằm trên đường trung trực của EF(5)
Từ (4) và (5) suy ra A, H nằm trên đường trung trực của EF
Suy ra AH là đường trung trực của EF
Vậy AH đường trung trực của EF.
b) Vì ∆BFH = ∆CEH (chứng minh câu a)
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng)
Do đó H nằm trên trung trực của BC
Mặt khác: AB = AC (chứng minh câu a)
Nên A nằm trên trung trực của BC
Do đó AH là đường trung trực của BC.
Vậy AH là đường trung trực của BC.
Bài 4. Cho ∆ABC có AB = 8cm; BC = 6cm. Qua trung điểm M của AC, kẻ đường vuông góc với AC cắt AB tại K. Tính chu vi ∆KBC.
Hướng dẫn giải
Theo bài ta có M là trung điểm của AC và KM ⊥ AC tại M nên KM là đường trung trực của AC
Suy ra KA = KC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (1)
Ta có AB = AK + KB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = KC + KB
Mà AB = 8 cm nên KC + KB = 8 cm.
Ta có chu vi ∆KBC là:
P = KB + KC + BC = 8 + 6 = 14 (cm).
Vậy chu vi ∆KBC bằng 14 cm.
Các bài học để học tốt Đường trung trực của một đoạn thẳng Toán lớp 7 hay khác:
Giải sgk Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
Giải sbt Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Lý thuyết Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Lý thuyết Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Lý thuyết Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 7
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp
This post was last modified on 05/04/2024 01:39
Con số may mắn hôm nay 23/11/2024 theo năm sinh: Nhặt TIỀN từ con số…
Tử vi thứ bảy ngày 23/11/2024 của 12 con giáp: Tuổi Thìn chán nản, tuổi…
Vận may của 4 con giáp đang ngày càng xuống dốc. Cuối tuần này (23-24/11),…
Con số cuối cùng trong ngày sinh dự đoán con người sẽ GIÀU CÓ, sống…
Cuối tuần này (23-24/11), 4 con giáp sẽ gặp nhiều may mắn và thành công…
Tử vi hôm nay – Top 3 con giáp thịnh vượng nhất ngày 22/11/2024
