Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Đường trung trực của một đoạn thẳng (Lý thuyết Toán lớp 7) – Cánh diều

Lý thuyết Đường trung trực của một đoạn thẳng

1. Định nghĩa

Bạn đang xem:

– Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Quan sát hình vẽ trên, ta có:

+ Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;

+ Đường thẳng d ⊥ AB tại I.

Do đó, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ: Trong các hình dưới đây, hãy chỉ ra các đường trung trực trong mỗi hình (nếu có):

Hướng dẫn giải

– Quan sát hình 1, ta thấy:

Đường thẳng a ⊥ AB tại C nhưng đường thẳng a không đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.

Do đó, đường thẳng a không là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

– Quan sát hình 2, ta thấy:

Đường thẳng b ⊥ DE tại F và đường thẳng b đi qua trung điểm F của đoạn thẳng DE.

Do đó, đường thẳng b là đường trung trực của đoạn thẳng DE.

– Quan sát hình 3, ta thấy:

Đường thẳng c đi qua trung điểm I của đoạn thẳng GH nhưng đường thẳng c không vuông góc với đoạn thẳng GH.

Do đó, đường thẳng c không là đường trung trực của đoạn thẳng GH.

2. Tính chất

– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Quan sát hình trên, ta có:

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng DE;

Điểm O nằm trên đường thẳng a.

Khi đó ta có OD = OE.

Ví dụ: Qua trung điểm O của AB kẻ đường trung trực d. Trên d lấy hai điểm E và F sao cho O nằm giữa E và F. Chứng minh rằng EAF^=EBF^ .

Hướng dẫn giải

Vì E và F nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB (giả thiết)

Nên EA = EB và FA = FB (tính chất đường trung trực)

Xét ∆EAF và ∆EBF ta có:

EA = EB (chứng minh trên),

FA = FB (chứng minh trên),

EF là cạnh chung.

Suy ra ∆EAF = ∆EBF (c.c.c)

Do đó EAF^=EBF^ (hai góc tương ứng).

Vậy EAF^=EBF^ .

– Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, M là điểm sao cho MA = MB (như hình vẽ bên dưới). Ta có M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Ví dụ: Cho ∆ABC cân tại A có BAC^=80° , đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính ADB^.

Hướng dẫn giải

∆ABC cân tại A nên B^=C^ (tính chất tam giác cân).

Xét ∆ABC có BAC^+B^+C^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay 80°+B^+B^=180° (vì B^=C^ )

Suy ra 2B^=180°−80°=100°

Suy ra B^=100°:2=50°.

Theo bài ta có D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB.

Suy ra ∆DAB cân tại D.

Do đó B^=BAD^=50°(tính chất tam giác cân)

Xét ∆DAB có: B^+BAD^+ADB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay ADB^=180°−B^−ABD^=180°−50°−50°=80°

Xem thêm : Cỏ đồng tiền từ cây phong thủy đến thần dược – Bạn có biết?

Vậy ADB^=80° .

3. Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết AB = a cm.

Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta làm theo các bước:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = a cm.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính R (biết R > a2 ).

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính R (biết R > a2 ), cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.

Bước 4: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 1. Cho ∆MNP có MN = 3cm; N^=40° và MO là đường trung trực của NP (O nằm trên NP). Tính độ dài MP và số đo OMP^

Hướng dẫn giải

Ta có MO là đường trung trực của NP (giả thiết) nên M nằm trên đường trung trực của NP.

Do đó MN = MP = 3cm (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét ∆MNP có MN = MP nên ∆MNP cân tại M

Suy ra P^=N^=40° (tính chất tam giác cân).

Vì MO là đường trung trực của NP nên MO ⊥ NP tại O.

Suy ra ∆MOP vuông tại O

Nên OMP^+P^=90° (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

Hay OMP^+40°=90°

Suy ra OMP^=90°−40°=50°

Vậy MP = 3cm và OMP^=50° .

Bài 2. Cho xOy^=30° . Trên tia Ox lấy điểm E, trên tia Oy lấy điểm F. Lấy điểm D sao cho OF là đường trung trực của ED.

a) Chứng minh OFE^=OFD^;

b) Chứng minh: ∆OED đều.

Hướng dẫn giải

Vì OF là đường trung trực của ED (giả thiết)

Nên OE = OD và FE = FD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét ∆OEF và ∆ODF có:

OE = OD (chứng minh trên),

FE = FD (chứng minh trên),

OF là cạnh chung.

Do đó ∆OEF = ∆ODF (c.c.c)

Suy ra OFE^=OFD^(hai góc tương ứng).

Vậy OFE^=OFD^ .

b) Theo phần a ta có: ∆OEF = ∆ODF nên EOF^=DOF^=30° (hai góc tương ứng)

Ta lại có EOD^=EOF^+FOD^=30°+30°=60°

Xét ∆OED có OE = OD nên ∆OED cân tại O.

Mà ∆OED cân tại O có EOD^=60° (chứng minh trên)

Do đó ∆OED đều.

Vậy ∆OED là tam giác đều.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) AH là trung trực của EF;

b) AH là trung trực của BC.

Hướng dẫn giải

a) Vì BE là phân giác của ABC^ nên ABE^=CBE^=12ABC^ (1)

CF là phân giác ACB^ của nên ACF^=FCB^=12ACB^ (2)

Mà ABC^=ACB^ (vì ∆ABC cân tại A) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ABE^=ACF^

• Xét ∆ABE và ∆ACF có:

AB = AC (vì ∆ABC cân tại A),

Xem thêm : Đói cho sạch rách cho thơm là đức tính gì?

ABE^=ACF^ (chứng minh trên),

AH là cạnh chung.

Do đó ∆ABE = ∆ACF (c.g.c)

Suy ra AE = AF (hai cạnh tương ứng)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của EF(4)

• Vì AB = AC và AF = AE (chứng minh trên)

Nên AB – AF = AC – AE

Hay BF = CE.

• Vì ∆ABE = ∆ACF (chứng minh trên)

Nên AEB^=AFC^(hai góc tương ứng)

Mà AEB^+CEB^=180°(hai góc kề bù)

AFC^+BFC^=180°(hai góc kề bù)

Do đó CEB^=BFC^hay CEH^=BFH^

• Xét ∆BFH và ∆CEH có:

BFH^=CEH^(chứng minh trên),

BF = CE (chứng minh trên),

FBH^=ECH^(do ABE^=ACF^ ).

Do đó ∆BFH = ∆CEH (g.c.g)

Suy ra HF = HE (hai cạnh tương ứng)

Suy ra H nằm trên đường trung trực của EF(5)

Từ (4) và (5) suy ra A, H nằm trên đường trung trực của EF

Suy ra AH là đường trung trực của EF

Vậy AH đường trung trực của EF.

b) Vì ∆BFH = ∆CEH (chứng minh câu a)

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng)

Do đó H nằm trên trung trực của BC

Mặt khác: AB = AC (chứng minh câu a)

Nên A nằm trên trung trực của BC

Do đó AH là đường trung trực của BC.

Vậy AH là đường trung trực của BC.

Bài 4. Cho ∆ABC có AB = 8cm; BC = 6cm. Qua trung điểm M của AC, kẻ đường vuông góc với AC cắt AB tại K. Tính chu vi ∆KBC.

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có M là trung điểm của AC và KM ⊥ AC tại M nên KM là đường trung trực của AC

Suy ra KA = KC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (1)

Ta có AB = AK + KB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = KC + KB

Mà AB = 8 cm nên KC + KB = 8 cm.

Ta có chu vi ∆KBC là:

P = KB + KC + BC = 8 + 6 = 14 (cm).

Vậy chu vi ∆KBC bằng 14 cm.

Học tốt Đường trung trực của một đoạn thẳng

Các bài học để học tốt Đường trung trực của một đoạn thẳng Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Giải sbt Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

• Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 7

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti’s ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L’Oreal mua 1 tặng 3

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp