Trung điểm là gì? Tính chất, cách chứng minh trung điểm đoạn thẳng

Chứng minh trung điểm là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán học ở cấp Trung học Cơ sở. Vậy cụ thể trung điểm là gì? Cách chứng minh trung điểm lớp 8 lớp 9 có gì giống và khác nhau? Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Trung điểm là gì?

Trung điểm còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng. Đây là điểm nằm trên đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm sẽ chia đoạn thẳng thành 2 phần có độ dài bằng nhau.

Bạn đang xem: Trung điểm là gì? Tính chất, cách chứng minh trung điểm đoạn thẳng

Ví dụ: Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều 2 điểm A, B hay MA=MB. Trung điểm M của đoạn thẳng AB lúc này còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng AB.

Tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Nói chung trong toán học, trung điểm có tính chất như trong khái niệm của nó, là điểm luôn nằm giữa. Ngoài ra, riêng trong hình học, trung điểm sẽ có các tính chất:

• Nếu M là trung điểm của AB thì MA = MB = AB/2
• Mỗi đoạn thẳng có nhiều điểm nằm giữa, nhưng chỉ có duy nhất một điểm chính giữa. Đó chính là trung điểm.
• Trung điểm nằm giữa và cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng.

Cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng

Có rất nhiều cách để vẽ được trung điểm của đoạn thẳng, tuy nhiên 3 cách sau là phổ biến nhất:

Sử dụng thước thẳng

Vẽ bằng thước thẳng với các bước như sau:

• Vẽ đoạn thẳng AB có độ dài tương ứng với đề bài (ví dụ 9cm) bằng thước thẳng có vạch kẻ.
• Theo tính chất trung điểm, vì M là trung điểm nên: MA = MB= AB/2 = 4.5 cm. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = 4.5cm là ta đã có được trung điểm.

Có thể bạn quan tâm:

• 1 thước bằng bao nhiêu mét, cm, dm, mm, dam, hm, km, tấc, phân, li?
• 1 độ bằng bao nhiêu phút, giây, radian? Cách đổi đơn vị độ (góc)
• Cách đổi inch sang m cực chính xác, nhanh chóng bằng công cụ

Sử dụng compa

Dùng compa để xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB với các bước như sau:

• Dùng compa vẽ một đường tròn tâm A. Giữ nguyên khoảng cách compa để vẽ tiếp một đường tròn tâm B có cùng bán kính.
• Dựng giao điểm C và D của hai đường tròn giao nhau. Kế đó, vẽ nối C với D thành đường thẳng.
• Lúc này, giao điểm M của đường thẳng CD và AB cũng chính là trung điểm M.

Lưu ý khi vẽ:

• Bán kính của hai đường tròn không nhất thiết phải bằng độ dài đoạn thẳng, tuy nhiên phải lớn hơn 1/2 độ dài đoạn thẳng.
• Thay vì vẽ nguyên hình tròn bạn có thể vẽ cung tròn là đủ.
• Hai đường tròn hoặc hai cung tròn bắt buộc phải có cùng bán kính.

Xác định trung điểm bằng cách gấp giấy

Trong trường hợp không có dụng cụ thước kẻ hay compa để vẽ trung điểm, bạn có thể sử dụng phương pháp gấp giấy thủ công. Các bước như sau:

• Vẽ đoạn thẳng AB trên giấy.
• Gấp giấy lại sao cho điểm B trên hình vẽ trùng với điểm A, hoặc ngược lại điểm A trùng với điểm B.
• Khi đó, điểm giao trên nếp gấp giao điểm của AB chính là trung điểm M cần xác định.

Các cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng

Để chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng thì ta cần sử dụng các tính chất hình học có liên quan đến trung điểm. Dưới đây là một số cách chứng minh trung điểm cơ bản.

Chứng minh theo tính chất trung điểm (Cách chứng minh của lớp 6)

Để chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta cần chứng minh đồng thời M nằm giữa A, B và MA + MB

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB=8cm có M là trung điểm AB. Trên AB lấy hai điểm C, D sao cho AC = BD= 3cm. Chứng minh M là trung điểm của CD.

Cách giải:

Vì M là trung điểm AB nên MA = MB = 4cm

Vì M, C cùng phía với A mà AM > AC nên C nằm giữa AM

⇒ MC = MA − CA = 1cm

Tương tự ta có MD = 1cm

Mặt khác: CD= AB − AC − BD =2cm

Như vậy ta có: MC = MD = 1cm; MC + MD = CD ⇒ M là trung điểm CD

Dựa vào các tính chất của tam giác (Cách chứng minh trung điểm lớp 7)

Xem thêm : Hóa vàng ngày nào đẹp năm 2024, nên hóa vàng giờ nào để tiễn tổ tiên

Để chứng minh theo cách này thì trước hết chúng ta cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm trong tam giác.

Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Khi đó:

• AM, BN, CP lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC, CA, AB. 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC. 3 đoạn thẳng MN, NP, PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC
• Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì AG, BG, CG lần lượt đi qua trung điểm của BC, CA, AB . Đồng thời: AG/AM = BG/BN = CG/CP = 2/3.
• Tính chất đường trung bình: Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC thì MN song song và bằng 1/2 cạnh đáy tương ứng.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có AB > BC . BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G, K DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng: M là trung điểm đoạn BC.

Cách giải:

• Xét ΔBCK có:

BF vừa là đường cao, vừa là phân giác nên ΔBCK cân tại B

⇒ BC = BK và BF là trung tuyến

⇒ CF = FK.

• Xét ΔCKA có:

CF = FK; CD = DA ⇒ FD là đường trung bình

⇒ FD//AB ⇔ MD//AB

Mà CD = DA nên ⇒ CM/CB = CD/CA = 1/2

⇒ M là trung điểm BC.

Dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt (Cách chứng minh trung điểm lớp 8)

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt như sau

Đường trung bình hình thang

Cho hình thang ABCD hai đáy là AB, CD. Khi đó MN được gọi là đường trung bình của hình thang ABCD ⇔ MN∥AB; MN= AB + CD/2 và M, N là trung điểm của AB, BC.

Đường chéo hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD với hai đường chéo AC, BD. Khi đó AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đoạn.

Chú ý: Hình vuông, hình chữ nhật , hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất nêu trên.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của AC,BD. Lấy M là điểm bất kì nằm trên CD . MI cắt AB tại N. Chứng minh rằng I là trung điểm MN.

Cách giải:

Vì ABCD là hình bình hành mà I là giao điểm của hai đường chéo nên ta có: DI = MI

Xem thêm : Chiến lược thâm nhập thị trường (Market penetration) là gì?

Xét ΔDIM và ΔBIN có:

• Góc DIM = góc BIN (hai góc đối đỉnh)
• DI = BI (chứng minh trên)
• Góc MDI = góc NBI (hai góc so le trong)

⇒ ΔDIM =ΔBIN (góc – cạnh – góc)

Vậy ⇒ IN = IM hay I là trung điểm MN.

Dựa vào các tính chất của đường tròn (Cách chứng minh trung điểm lớp 9)

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn:

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu AB ⊥ MN ⇒ AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại, nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB ⊥ MN.

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của (O) (P nằm giữa M và Q) song song với BC cắt AC tại E . Chứng minh rằng E là trung điểm PQ.

Cách giải:

Vì MA, MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn (O) nên ⇒ MA = MB

Xét ΔMAO và ΔMBO có

• MA = MB (chứng minh trên)
• MO chung
• OA = OB (bán kính (O))

Vậy ⇒ ΔMAO = ΔMBO (cạnh – cạnh – cạnh)

⇒ Góc MOA = góc MOB ⇒ góc MOA = góc AOB/2 (1)

Vì PQ∥BC ⇒ góc MEA = góc BCA (đồng vị), mà góc BCA = góc AOB/2 ⇒ góc MEA = góc AOB/2 (2)

Từ (1)(2) ⇒ góc MEA = góc MOA

⇒ Tứ giác MOEA là tứ giác nội tiếp

⇒ Góc MEO = góc MAO = 90∘ (do MA là tiếp tuyến)

⇒ EO vuông góc với dây cung PQ ⇒ E là trung điểm PQ

Chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng

• Đối xứng trục: Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB . Khi đó AB ⊥ d và d đi qua trung điểm của AB

• Đối xứng tâm: Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua điểm O nếu như O là trung điểm của AB

Cách xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng trên mặt phẳng

Để xác định được tọa độ trung điểm của đoạn thẳng trên mặt phẳng ta chỉ cần sử dụng công thức đơn giản. Cụ thể, khi ta có một đoạn thẳng trên một mặt phẳng Euclid với tọa độ 2 đầu mút lần lượt là (x1;y1) và (x2;y2), thì tọa độ trung điểm là (z1;z2) với:

• z1 = (x1+x2)/2
• z2 = (y1+y2)/2

Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm A(2;5), B(-4;7). Khi đó, tọa độ trung điểm M của AB sẽ là:

• xM = (2+(-4))/2 = -1
• yM = (5+7)/2 = 6

⇒ M(-1;6)

Xem thêm:

• Đường cao là gì? Tính chất và Công thức tính đường cao trong tam giác
• Tam giác đồng dạng là gì? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
• Hai mặt phẳng vuông góc là gì? Bài tập 2 mặt phẳng vuông góc

Bài viết trên đây đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về trung điểm là gì cũng như cách xác định trung điểm. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề chứng minh trung điểm. Chúc bạn luôn học tốt và đừng quên theo dõi những chủ đề tiếp theo của DINHNGHIA nhé!

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp