Chứng minh trung điểm là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán học ở cấp Trung học Cơ sở. Vậy cụ thể trung điểm là gì? Cách chứng minh trung điểm lớp 8 lớp 9 có gì giống và khác nhau? Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!
Trung điểm còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng. Đây là điểm nằm trên đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm sẽ chia đoạn thẳng thành 2 phần có độ dài bằng nhau.
Bạn đang xem: Trung điểm là gì? Tính chất, cách chứng minh trung điểm đoạn thẳng
Ví dụ: Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều 2 điểm A, B hay MA=MB. Trung điểm M của đoạn thẳng AB lúc này còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng AB.
Nói chung trong toán học, trung điểm có tính chất như trong khái niệm của nó, là điểm luôn nằm giữa. Ngoài ra, riêng trong hình học, trung điểm sẽ có các tính chất:
Có rất nhiều cách để vẽ được trung điểm của đoạn thẳng, tuy nhiên 3 cách sau là phổ biến nhất:
Vẽ bằng thước thẳng với các bước như sau:
Có thể bạn quan tâm:
- 1 thước bằng bao nhiêu mét, cm, dm, mm, dam, hm, km, tấc, phân, li?
- 1 độ bằng bao nhiêu phút, giây, radian? Cách đổi đơn vị độ (góc)
- Cách đổi inch sang m cực chính xác, nhanh chóng bằng công cụ
Dùng compa để xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB với các bước như sau:
Lưu ý khi vẽ:
Trong trường hợp không có dụng cụ thước kẻ hay compa để vẽ trung điểm, bạn có thể sử dụng phương pháp gấp giấy thủ công. Các bước như sau:
Để chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng thì ta cần sử dụng các tính chất hình học có liên quan đến trung điểm. Dưới đây là một số cách chứng minh trung điểm cơ bản.
Để chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta cần chứng minh đồng thời M nằm giữa A, B và MA + MB
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB=8cm có M là trung điểm AB. Trên AB lấy hai điểm C, D sao cho AC = BD= 3cm. Chứng minh M là trung điểm của CD.
Cách giải:
Vì M là trung điểm AB nên MA = MB = 4cm
Vì M, C cùng phía với A mà AM > AC nên C nằm giữa AM
⇒ MC = MA − CA = 1cm
Tương tự ta có MD = 1cm
Mặt khác: CD= AB − AC − BD =2cm
Như vậy ta có: MC = MD = 1cm; MC + MD = CD ⇒ M là trung điểm CD
Xem thêm : Đi vào làn dừng xe khẩn cấp sẽ bị xử phạt tới 6 triệu đồng, tước bằng lái 3 tháng
Để chứng minh theo cách này thì trước hết chúng ta cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm trong tam giác.
Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Khi đó:
Ví dụ:
Cho tam giác ABC có AB > BC . BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G, K DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng: M là trung điểm đoạn BC.
Cách giải:
BF vừa là đường cao, vừa là phân giác nên ΔBCK cân tại B
⇒ BC = BK và BF là trung tuyến
⇒ CF = FK.
CF = FK; CD = DA ⇒ FD là đường trung bình
⇒ FD//AB ⇔ MD//AB
Mà CD = DA nên ⇒ CM/CB = CD/CA = 1/2
⇒ M là trung điểm BC.
Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt như sau
Cho hình thang ABCD hai đáy là AB, CD. Khi đó MN được gọi là đường trung bình của hình thang ABCD ⇔ MN∥AB; MN= AB + CD/2 và M, N là trung điểm của AB, BC.
Cho hình bình hành ABCD với hai đường chéo AC, BD. Khi đó AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đoạn.
Chú ý: Hình vuông, hình chữ nhật , hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất nêu trên.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của AC,BD. Lấy M là điểm bất kì nằm trên CD . MI cắt AB tại N. Chứng minh rằng I là trung điểm MN.
Cách giải:
Vì ABCD là hình bình hành mà I là giao điểm của hai đường chéo nên ta có: DI = MI
Xem thêm : Uống nước một cách thông minh
Xét ΔDIM và ΔBIN có:
⇒ ΔDIM =ΔBIN (góc – cạnh – góc)
Vậy ⇒ IN = IM hay I là trung điểm MN.
Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu AB ⊥ MN ⇒ AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại, nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB ⊥ MN.
Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của (O) (P nằm giữa M và Q) song song với BC cắt AC tại E . Chứng minh rằng E là trung điểm PQ.
Cách giải:
Vì MA, MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn (O) nên ⇒ MA = MB
Xét ΔMAO và ΔMBO có
Vậy ⇒ ΔMAO = ΔMBO (cạnh – cạnh – cạnh)
⇒ Góc MOA = góc MOB ⇒ góc MOA = góc AOB/2 (1)
Vì PQ∥BC ⇒ góc MEA = góc BCA (đồng vị), mà góc BCA = góc AOB/2 ⇒ góc MEA = góc AOB/2 (2)
Từ (1)(2) ⇒ góc MEA = góc MOA
⇒ Tứ giác MOEA là tứ giác nội tiếp
⇒ Góc MEO = góc MAO = 90∘ (do MA là tiếp tuyến)
⇒ EO vuông góc với dây cung PQ ⇒ E là trung điểm PQ
Để xác định được tọa độ trung điểm của đoạn thẳng trên mặt phẳng ta chỉ cần sử dụng công thức đơn giản. Cụ thể, khi ta có một đoạn thẳng trên một mặt phẳng Euclid với tọa độ 2 đầu mút lần lượt là (x1;y1) và (x2;y2), thì tọa độ trung điểm là (z1;z2) với:
Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm A(2;5), B(-4;7). Khi đó, tọa độ trung điểm M của AB sẽ là:
⇒ M(-1;6)
Xem thêm:
- Đường cao là gì? Tính chất và Công thức tính đường cao trong tam giác
- Tam giác đồng dạng là gì? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
- Hai mặt phẳng vuông góc là gì? Bài tập 2 mặt phẳng vuông góc
Bài viết trên đây đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về trung điểm là gì cũng như cách xác định trung điểm. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề chứng minh trung điểm. Chúc bạn luôn học tốt và đừng quên theo dõi những chủ đề tiếp theo của DINHNGHIA nhé!
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp
Con số may mắn hôm nay 23/11/2024 theo năm sinh: Nhặt TIỀN từ con số…
Tử vi thứ bảy ngày 23/11/2024 của 12 con giáp: Tuổi Thìn chán nản, tuổi…
Vận may của 4 con giáp đang ngày càng xuống dốc. Cuối tuần này (23-24/11),…
Con số cuối cùng trong ngày sinh dự đoán con người sẽ GIÀU CÓ, sống…
Cuối tuần này (23-24/11), 4 con giáp sẽ gặp nhiều may mắn và thành công…
Tử vi hôm nay – Top 3 con giáp thịnh vượng nhất ngày 22/11/2024