7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 7,8: Công thức và phát biểu bằng lời.

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm các công thức toán học lớp 7 mà các em cần phải nhớ để áp dụng vào các bài tập sau này. Các bạn có thể tham khảo qua bài viết này để có cách áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải bài tập dễ hiểu nhất nhé!

7 hằng đẳng thức đáng nhớ đầy đủ

a. Bình phương của một tổng

Phát biểu bằng lời: Bình phương của 1 tổng sẽ (bằng =) bình phương của số thứ nhất (cộng +) với 2 lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai và (cộng +) với bình phương của số thứ hai.

Công thức:

Ví dụ:

• (x + 2)2 = x2 + 2.x.2 + 22 = x2 + 4x + 4
• (x + 6)2 – x2 – 36 = (x2 + 2.x.6 + 62) – x2 – 36 = 12x.

b. Bình phương của một hiệu

Phát biểu bằng lời: Bình phương của 1 hiệu sẽ (bằng =) bình phương của số thứ nhất (trừ -) đi 2 lần tích của số thứ nhất và số thứ hai sau đó (cộng +) bình phương với số thứ hai.

Công thức:

Ví dụ:

• (x – 1)2 = x2 + 2.x.1 + 12 = x2 – 2x + 1
• (x – 5)2 – x2 – 25 = (x2 + 2.x.5 + 52) – x2 – 25 = – 10x.

c. Hiệu 2 bình phương

Phát biểu bằng lời: Hiệu hai bình phương của hai số sẽ (bằng =) tổng hai số đó (nhân x) với hiệu hai số đó.

Công thức:

Ví dụ:

• x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
• x2 – 9 + 2(x + 3) = (x – 3)(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x – 3 + 2) = (x + 3)(x – 1)

d. Lập phương của một tổng

Phát biểu bằng lời: Lập phương của 1 tổng hai số sẽ (bằng =) lập phương của số thứ nhất (cộng +) với 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, (cộng +) với 3 lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, (cộng +) với lập phương số thứ hai.

Công thức :

Ví dụ:

• (x + 1)3 = x3 + 3.×2.1 + 3.x.12 + 13 = x3 + 3×2 + 3x + 1
• (x + 6)3 – 2×3 – 18.×2 + 1 = (x3 + 3.×2.6 + 3.x.62 + 63) – 2×3 – 18.×2 + 1 = – x3 + 108x + 217

e. Lập phương của một hiệu

Phát biểu bằng lời: Lập phương của 1 hiệu hai số sẽ (bằng =) lập phương của số thứ nhất (trừ -) đi 3 lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, (cộng +) với 3 lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai sau đó (trừ -) đi lập phương số thứ hai.

Công thức :

Ví dụ:

• (x – 2)3 = x3 – 3.×2.2 + 3.x.22 – 23 = x3 – 6×2 + 12x – 8
• (x – 2)3 – x3 – 18.x2 = (x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23) – x3 – 18.x2 = – 12.x2 + 12x + 8

g. Tổng 2 lập phương

Phát biểu bằng lời: Tổng của hai lập phương hai số sẽ (bằng =) tổng của hai số đó (nhân x) với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

Công thức:

Ví dụ:

• x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 4)

h. Hiệu 2 lập phương

Phát biểu bằng lời: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ (bằng =) hiệu hai số đó (nhân x) với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Công thức:

Ví dụ:

• x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 4)

Bảy hằng đẳng thức mở rộng

a. Bộ hằng đẳng thức bậc 2

b. Bộ hằng đẳng thức bậc 3

Xem thêm: S tam giác

Ứng dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào các dạng bài tập

Bạn có thể sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào các dạng bài tập như sau:

• Tính giá trị của các biểu thức.
• Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến.
• Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.
• Chứng minh đẳng thức bằng nhau.
• Chứng minh bất đẳng thức
• Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Tìm giá trị của x
• Thực hiện phép tính phân thức
• Thực hiện phép tính phân thức

Tính giá trị của biểu thức

Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

Giải.

Ta có : A = x2 – 4x + 4 = A = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

Vậy : A(-1) = 9

Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

B = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Giải.

B =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

= x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x

= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = x2 – 2x + 5

Giải.

Ta có : C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Xem thêm : Khoai tây mọc mầm có ăn được không? Cách phòng tránh ngộ độc và bảo quản đúng

Mà : (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

Nên : Cmin= 4 khi x = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 4x – x2

Giải.

Ta có : D = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 + x2 – 4x) = 4 – (x – 2)2

Mà : -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra : 4 – (x – 2)2 ≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

Nên : Dmax= 4 khi x = 2.

Chứng minh đẳng thức

(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Giải.

VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) ->đpcm.

Vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp