Các tứ giác đặc biệt

1. Hình thang

Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình thang ABCD (AB // CD):

Bạn đang xem: Các tứ giác đặc biệt

• AB và CD gọi là các cạnh đáy ( hoặc đáy). AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn.
• AD và BC gọi là các cạnh bên.
• Gọi AH là đường cao kẻ từ A đến CD. Khi đó, AH là đường cao của hình thang.

Các trường hợp đặc biệt của hình thang:

Hình thang vuông: là hình thang có một góc vuông.

Hình thang cân: là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Suy ra: AD = BC và AC = BD.

Đường trung bình của hình thang

Định lý 1:Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng một nửa tổng hai đáy.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy một điểm B’ sao cho AB’ = AB và trên AB lấy điểm C’ sao cho AC’ = AC. Chứng minh tứ giác BB’CC’ là hình thang.

Hướng dẫn giải:

AB’ = AB nên ΔBAB’ cân tại đỉnh A, suy ra (1)

AC’ = AC nên ΔCAC cân tại đỉnh A, suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Xem thêm : Vi phạm nồng độ cồn bị tạm giữ GPLX: Bỏ bằng lái, thi lại được không?

Hai đường thẳng BB’ và CC’ tạo với đường thẳng AB hai góc đồng vị bằng nhau nên BB’ // CC’.

Vậy tứ giác BB’CC’ là hình thang.

2. Hình bình hành

Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạp cạnh song song.

Tính chất:

• Các cạnh đối bằng nhau.
• Các góc đối bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường.

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành thì ta chứng minh nó có một trong các tính chất sau:

• Các cạnh đối song song.
• Các cạnh đối bằng nhau.
• Các góc đối bằng nhau.
• Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC và D là một điểm bất kì thuộc cạnh đáy BC. Gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BD, CD. Đường trung trực của BD cắt cạnh AB tại điểm G. Đường trung trực của CD cắt cạnh AC tại H. Chứng minh rằng tứ AGDH là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Do FH là đường trung trực của DC nên HD = HC

Suy ra ΔDHC cân tại đỉnh H

Mà (Do ΔABC cân tại A) DH // AB.

Tương tự, ta có GD // AC.

Tứ giác AGDH có các cạnh đối song song.

Suy ra tứ giác AGDH là hình bình hành.

3. Hình thoi

Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tính chất:

• Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
• Trong hình thoi hai đường chéo vuông góc với nhau.
• Trong hình thoi hai đường chéo là đường phân giác các góc của nó.

Xem thêm : Danh sách 22 quận huyện TPHCM [Cập nhật mới nhất]

Để chứng minh một tứ giác là hình thoi thì ta chứng minh nó có một trong các tính chất sau:

• Có bốn cạnh bằng nhau.
• Là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
• Là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.
• Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc ở đỉnh.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng tứ giác IMNK là hình thoi.

Hướng dẫn giải:

+) Do M là trung điểm BE, I là trung điểm DE.

MI là đường trung bình của ΔBDE suy ra MI // BD và MI = ½ BD.

+) Tương tự cho ΔBDC suy ra NK // BD và NK = ½ BD.

MI // NK và MI = NK suy ra Tứ giác IMNK là hình bình hành.(1)

+) Tương tự cho ΔDCE suy ra IN // EC và IN = ½ EC.

Mà EC = BD IN = IM (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác IMNK là hình thoi (do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

4. Hình chữ nhật

Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Tính chất:

• Hình chữ nhật là hình thang cân có một góc vuông.
• Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông
• Hình chữ nhật có đầy đủ tính chất của hình thang cân và hình bình hành.
• Đặc biệt: Trong hình chữ nhật hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật thì ta chứng minh nó có một trong các tính chất sau:

• Có ba góc vuông.
• Là hình thang cân có một góc vuông.
• Là hình bình hành có một góc vuông.
• Là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
• Có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE = AB. Kẻ EK ⊥ BC (K ∈ BC), EN ⊥ AH (N ∈ AH). Chứng minh tứ giác NEKH là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp