Đường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}=(a; b; c)$
Phương trình tham số d:
Bạn đang xem: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian: Lý Thuyết Và Bài Tập
$x = x_{0} + at$
$y = y_{0} + bt$
$z = z_{0} + ct$
$(t epsilon R)$
1.2. Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian
Đường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (a; b; c)$
Phương trình chính tắc của d: $frac{x – x_{0}}{a} = frac{y – y_{0}}{b} = frac{z – z_{0}}{c} (abc neq 0)$
Trong không gian cho 2 đường thẳng 1 đi qua $M_{1}$ và có một vecto chỉ phương $overrightarrow{u}$. Khi đó vị trí tương đối $Delta_{1}$ và $Delta_{2}$ được xác định như sau:
Đường thẳng d đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng (P): $Ax + By + Cz + D = 0$ có vecto pháp tuyến $overrightarrow{u} = (A; B; C)$. Khi đó:
Trong không gian cho 2 đường thẳng $Delta_{1}$ có một vecto chỉ phương $overrightarrow{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ khi đó:
>> Xem thêm: Góc giữa 2 mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và bài tập
Trong không gian cho đường thẳng $Delta$ có vecto chỉ phương $overrightarrow{u_{1}} = (a; b; c)$ mặt phẳng (P) có vecto chỉ phương $overrightarrow{n} = (A; B; C)$. Khi đó:
>> Xem thêm: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Cho điểm M cùng đường thẳng $Delta$ đi qua N có vectơ $overrightarrow{u}$. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến $Delta$ xác định bởi công thức.
Cách 1:
Trong không gian cho đường thẳng $Delta_{1}$ đi qua $M_{1}$ có vecto chỉ phương $overrightarrow{u_{1}} . Delta_{2}$ đi qua $M_{2}$ có vecto chỉ phương $overrightarrow{u_{2}}$. Khi đó:
Cách 2:
Gọi AB là đoạn thẳng vuông góc $Delta_{1}, Delta_{2}$ với $A epsilon Delta_{1}, B epsilon Delta_{2}$
$Rightarrow overrightarrow{AB} , . , overrightarrow{u_{1}} = 0$ hoặc $Rightarrow overrightarrow{AB} , . , overrightarrow{u_{2}} = 0$
$Rightarrow d(Delta_{1}, Delta_{2})=AB$
Xem thêm : Khi thủy phân saccarozơ thì thu được?
Ví dụ 1: Với tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng
d: $frac{x + 1}{2}=frac{y – 1}{1}=frac{z – 2}{3}$ và mặt phẳng P: $x-y-z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng $Delta$ vuông góc với d, song song với (P) và đi qua A(1; 1; -2).
Giải:
Để tìm được vectơ chỉ phương của $Delta$ ta phải tìm 2 vectơ chỉ phương không cùng phương của nó sau đó tìm tích có hướng của 2 vecto.
Như vậy ta có: $overrightarrow{u_{Delta}}=[overrightarrow{u_{d}}; overrightarrow{_{p}}]=(2; 5; -3)$
Trong đó: $overrightarrow{u_{d}} = (2; 1; 3); overrightarrow{_{p}}=(1; -1; -1)$
$Delta$ đi qua A(1; 1; -2) và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_{Delta}} = (2; 5; -3)$
$Rightarrow$ Ta có phương trình: $Delta : frac{x – 1}{2} = frac{y – 1}{5} = frac{z + 2}{-3}$
Ví dụ 2: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng
$Delta: frac{x – 1}{2} = frac{y + 1}{1} = frac{z}{-1}$ và mặt phẳng P: $x-y-z-1=0$. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc và cắt với $Delta$, qua M(2; 1; 0).
Giải:
Ví dụ 1: Cho tọa độ Oxyz trong không gian cho đường thẳng
$d: frac{x + 1}{3}=frac{y – 2}{-2}=frac{z – 2}{2}$ và $P: x + 3y + 2z + 2=0$. Viết phương trình của $Delta$ song song với (P), cắt đường thẳng (d) và đi qua M(2; 2; 4).
Giải:
Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian có đường thẳng $d: frac{x – 1}{2}=frac{y + 1}{1}=frac{z}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $Delta$ đi qua A(2; 3; -1) và cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến $alpha: x + y + z = 0$ bằng $2sqrt{3}$.
Giải:
Do $B epsilon d Rightarrow$ Tọa độ B(1 + t; 2 + 2t; -t)
Do khoảng cách từ B tới $alpha: x + y + z = 0$ bằng $2sqrt{3}$ nên:
Với t = 2 thì B(3; 6; -2)
$Delta$ đi qua B(3; 6; -2) và nhận $overrightarrow{AB} (1; 3; -1)$ làm vecto chỉ phương:
$Rightarrow$ Phương trình $Delta: frac{x – 3}{1}=frac{y – 6}{3}=frac{z – 2}{-1}$
Với t = -4 thì B(-3; -6; 4)
Xem thêm : Top #26 Quán cafe Quận 2 TPHCM check – in sang chảnh
$Delta$ đi qua B(-3; -6; 4) và nhận $overrightarrow{AB}(-5; -9; 5)$ làm vecto chỉ phương:
$Rightarrow$ Phương trình $Delta: frac{x + 3}{-5}=frac{y + 6}{9}=frac{z – 4}{5}$
Ví dụ 1: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian, viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt cả 2 đường thẳng $d_{1}: 2x + 3x + 11 = 0$ hoặc $y – 2z + 7 = 0$ và $d_{2}: frac{x – 2}{2}=frac{y + 1}{3}=frac{z – 1}{-5}$
Giải:
Viết phương trình đường thẳng:
Ví dụ 2: Cho hệ tọa độ Oxyz trong không gian với 3 đường thẳng có phương trình:
Viết phương trình đường thẳng $Delta$ biết $Delta$ cắt $d_{1}; d_{2}; d_{3}$ lần lượt tại A, B, C để AB = BC.
Giải:
Xét 3 điểm A, B, C lần lượt nằm trên $d_{1}; d_{2}; d_{3}$
Giả sử: A(t; 4 – t; -1 + 2t); B(u; 3 – 3u, -3u) và C(-1 + 5v, 1 + 2v, -1 + v)
Ta có A, B, C thẳng hàng và BC = AB ⇔ B chính là trung điểm của BC
Tọa độ 3 điểm A(1; 3; 1); B(0; 2; 0); C(-1; 1; -1)
$Delta$ đi qua B(0; 2; 0) và có $overrightarrow{CB}(1; 1; 1)$
Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng hợp trọn bộ kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán
Ví dụ 1: Cho tọa độ Oxyz trong không gian, đường thẳng $d: x = 2 + 4t; y = 3 = 2t$ và $z = -3 + t$. Mặt phẳng $(P): -x + y + 2z + 5 = 0$. Viết phương trình nằm trong mặt phẳng (P) song song và cách d một khoảng bằng $sqrt{14}$.
Giải:
Ví dụ 2:
Giải:
Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi sớm hiệu quả và phù hợp nhất với bản thân
Trên đây là toàn bộ kiến thức lý thuyết và bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian. Hy vọng rằng qua bài viết này các em có thể tự tin khi làm bài tập phần này. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 12, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp
This post was last modified on 13/04/2024 11:55
Con số may mắn hôm nay 26/11/2024 theo tuổi sinh: Hãy chọn SỐ ĐÚNG để…
Tử vi thứ ba ngày 26/11/2024 của 12 con giáp: Tý xui xẻo, Mùi an…
12 con giáp rất dễ dàng gặp được QUÝ VỊ, chỉ cần áp dụng đúng…
Hãy cẩn thận khi tiếp xúc với những con giáp này, chúng là bậc thầy…
Cách 12 con giáp trưởng thành sau vấp ngã và nếm trải thất bại trong…
4 con giáp đối mặt nguy cơ mất tiền, thất bại trong đầu tư vào…