Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu là một dạng bài tập thường gặp trong Toán 9 và đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học tốt phần này, VnDoc gửi tới các bạn lý thuyết cơ bản và một số dạng bài tập để các em biết cách làm các bài toán Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Nội dung bài sẽ giúp các em học tốt môn Toán lớp 9, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Dưới đây là nội dung chi tiết, các em cùng tham khảo nhé.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Bạn đang xem: Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

∆ = b2 – 4ac

Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Định lý Vi-ét:

Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0 P > 0 end{array} right.” width=”93″ height=”49″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0 P > 0 end{array} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20%20%3E%200%5C%5C%0AP%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương 0 P > 0 S > 0 end{array} right.” width=”96″ height=”73″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0 P > 0 S > 0 end{array} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20%20%3E%200%5C%5C%0AP%20%3E%200%5C%5C%0AS%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm 0 P > 0 S < 0 end{array} right.” width=”96″ height=”73″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0 P > 0 S < 0 end{array} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20%20%3E%200%5C%5C%0AP%20%3E%200%5C%5C%0AS%20%3C%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Bài 1: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu .

Xem thêm :

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: 0 m – 4 < 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m > 3 m < 4 end{array} right. Leftrightarrow 3 < m < 4″ width=”315″ height=”49″ data-latex=”left{ begin{array}{l} m – 3 > 0 m – 4 < 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m > 3 m < 4 end{array} right. Leftrightarrow 3 < m < 4″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Am%20-%203%20%3E%200%5C%5C%0Am%20-%204%20%3C%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Am%20%3E%203%5C%5C%0Am%20%3C%204%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%203%20%3C%20m%20%3C%204″>

Trường hợp 2: 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m < 3 m > 4 end{array} right.” width=”202″ height=”49″ data-latex=”left{ begin{array}{l} m – 3 < 0 m – 4 > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m < 3 m > 4 end{array} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Am%20-%203%20%3C%200%5C%5C%0Am%20-%204%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Am%20%3C%203%5C%5C%0Am%20%3E%204%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>(vô lý)

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0 hfill P > 0 hfill end{gathered} right.” width=”99″ height=”48″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{gathered} Delta ‘ > 0 hfill P > 0 hfill end{gathered} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%5CDelta%20’%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20P%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bgathered%7D%20%20%5Cright.”>.

Xem thêm :

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0″ width=”79″ height=”18″ data-latex=”Leftrightarrow Delta ‘ > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5CDelta%20’%20%3E%200″>

Có

0forall m ne 3 hfill end{gathered}” width=”197″ height=”77″ data-latex=”begin{gathered} = 4{m^2} – 3{m^2} + 6m + 9 hfill = {m^2} + 6m + 9 hfill = {left( {m – 3} right)^2} > 0forall m ne 3 hfill end{gathered}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%3D%204%7Bm%5E2%7D%20-%203%7Bm%5E2%7D%20%2B%206m%20%2B%209%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%3D%20%7Bm%5E2%7D%20%2B%206m%20%2B%209%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%3D%20%7B%5Cleft(%20%7Bm%20-%203%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%3E%200%5Cforall%20m%20%5Cne%203%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bgathered%7D”>

Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

0 Leftrightarrow 3left( {{m^2} – 2m – 3} right) > 0″ width=”246″ height=”26″ data-latex=”P > 0 Leftrightarrow 3left( {{m^2} – 2m – 3} right) > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=P%20%3E%200%20%5CLeftrightarrow%203%5Cleft(%20%7B%7Bm%5E2%7D%20-%202m%20-%203%7D%20%5Cright)%20%3E%200″>

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: 0 hfill m – 3 > 0 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} m > – 1 hfill m > 3 hfill end{gathered} right. Rightarrow m > 3″ width=”295″ height=”48″ data-latex=”left{ begin{gathered} m + 1 > 0 hfill m – 3 > 0 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} m > – 1 hfill m > 3 hfill end{gathered} right. Rightarrow m > 3″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20m%20%2B%201%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20m%20-%203%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bgathered%7D%20%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20m%20%3E%20%20-%201%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20m%20%3E%203%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bgathered%7D%20%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20m%20%3E%203″>

Trường hợp 2:

Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Bài 3: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm 0 hfill P > 0 hfill S < 0 hfill end{gathered} right.” width=”96″ height=”70″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{gathered} Delta > 0 hfill P > 0 hfill S < 0 hfill end{gathered} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%5CDelta%20%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20P%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20S%20%3C%200%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bgathered%7D%20%20%5Cright.”>

Xem thêm :

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm 0 P > 0 S < 0 end{array} right.” width=”96″ height=”73″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0 P > 0 S < 0 end{array} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20%20%3E%200%5C%5C%0AP%20%3E%200%5C%5C%0AS%20%3C%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>

Với 0 Leftrightarrow {left( {2m + 3} right)^2} – 4m > 0″ width=”241″ height=”27″ data-latex=”Delta > 0 Leftrightarrow {left( {2m + 3} right)^2} – 4m > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CDelta%20%20%3E%200%20%5CLeftrightarrow%20%7B%5Cleft(%20%7B2m%20%2B%203%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20-%204m%20%3E%200″>

0 Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0 Leftrightarrow 4left( {{m^2} + 2m + 1} right) + 5 > 0 Leftrightarrow 4{left( {m + 1} right)^2} + 5 > 0forall m end{array}” width=”236″ height=”109″ data-latex=”begin{array}{l} Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 – 4m > 0 Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0 Leftrightarrow 4left( {{m^2} + 2m + 1} right) + 5 > 0 Leftrightarrow 4{left( {m + 1} right)^2} + 5 > 0forall m end{array}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%5CLeftrightarrow%204%7Bm%5E2%7D%20%2B%2012m%20%2B%209%20-%204m%20%3E%200%5C%5C%0A%20%5CLeftrightarrow%204%7Bm%5E2%7D%20%2B%208m%20%2B%209%20%3E%200%5C%5C%0A%20%5CLeftrightarrow%204%5Cleft(%20%7B%7Bm%5E2%7D%20%2B%202m%20%2B%201%7D%20%5Cright)%20%2B%205%20%3E%200%5C%5C%0A%20%5CLeftrightarrow%204%7B%5Cleft(%20%7Bm%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%205%20%3E%200%5Cforall%20m%0A%5Cend%7Barray%7D”>

Với 0 Leftrightarrow m > 0″ width=”127″ height=”17″ data-latex=”P > 0 Leftrightarrow m > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=P%20%3E%200%20%5CLeftrightarrow%20m%20%3E%200″>

Với kết hợp với m > 0

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 4: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương 0 hfill P > 0 hfill S > 0 hfill end{gathered} right.” width=”101″ height=”70″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{gathered} Delta ‘ > 0 hfill P > 0 hfill S > 0 hfill end{gathered} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%5CDelta%20’%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20P%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20S%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bgathered%7D%20%20%5Cright.”>

Xem thêm :

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương 0 P > 0 S > 0 end{array} right.” width=”101″ height=”73″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta ‘ > 0 P > 0 S > 0 end{array} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20’%20%3E%200%5C%5C%0AP%20%3E%200%5C%5C%0AS%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>

Với 0 Leftrightarrow {m^2} – left( {2m – 4} right) > 0″ width=”238″ height=”25″ data-latex=”Delta ‘ > 0 Leftrightarrow {m^2} – left( {2m – 4} right) > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CDelta%20’%20%3E%200%20%5CLeftrightarrow%20%7Bm%5E2%7D%20-%20%5Cleft(%20%7B2m%20-%204%7D%20%5Cright)%20%3E%200″>

0 Leftrightarrow left( {{m^2} – 2m + 1} right) + 3 > 0 Leftrightarrow {left( {m – 1} right)^2} + 3 > 0forall m end{array}” width=”218″ height=”84″ data-latex=”begin{array}{l} Leftrightarrow {m^2} – 2m + 4 > 0 Leftrightarrow left( {{m^2} – 2m + 1} right) + 3 > 0 Leftrightarrow {left( {m – 1} right)^2} + 3 > 0forall m end{array}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%5CLeftrightarrow%20%7Bm%5E2%7D%20-%202m%20%2B%204%20%3E%200%5C%5C%0A%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft(%20%7B%7Bm%5E2%7D%20-%202m%20%2B%201%7D%20%5Cright)%20%2B%203%20%3E%200%5C%5C%0A%20%5CLeftrightarrow%20%7B%5Cleft(%20%7Bm%20-%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%203%20%3E%200%5Cforall%20m%0A%5Cend%7Barray%7D”>

Với 0 Leftrightarrow 2m – 4 > 0 Leftrightarrow m > 2″ width=”248″ height=”19″ data-latex=”P > 0 Leftrightarrow 2m – 4 > 0 Leftrightarrow m > 2″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=P%20%3E%200%20%5CLeftrightarrow%202m%20-%204%20%3E%200%20%5CLeftrightarrow%20m%20%3E%202″>

Xem thêm :

Với 0 Leftrightarrow 2 > 0″ width=”118″ height=”17″ data-latex=”S > 0 Leftrightarrow 2 > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=S%20%3E%200%20%5CLeftrightarrow%202%20%3E%200″> (luôn đúng)

Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Bài 5. Cho phương trình bậc hai (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải

Ta có a.c = 1.(-1) < 0 với mọi m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của tham số m.

Bài 6. Cho phương trình (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

a.c < 0

=> -3 – m < 0

=> m > -3

Vậy m > -3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương, hai nghiệm cùng dấu âm

Bài 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a) Trái dấu.b) Cùng dấu.c) Cùng dấu âm.d) Cùng dấu dương.

Bài 2: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn

Bài 3: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a) Trái dấu.b) Cùng dấu.c) Cùng dấu âm.d) Cùng dấu dương.

Bài 4: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Bài 5: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Bài 6: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 7: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 8: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 9: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Bài 10: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

–

Ngoài tài liệu Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu, mời các bạn tham khảo Đề thi học kì 1 lớp 9 và các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Chúc các em học tốt.

Mời bạn đọc cùng tham khảo thêm các tài liệu học tập tại mục:

• Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
• Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án
• Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét
• Chứng minh Bất đẳng thức Bunhiacopx

Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm:

• Rút gọn biểu thức – Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
• Hàm số đồ thị – Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
• Phương trình, hệ phương trình – Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình – Xem thêm Kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
• Hình học – Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp