Số thực là gì? Phương pháp giải các dạng toán về số thực

Số thực là một khái niệm cơ bản trong toán học, được ứng dụng rất nhiều trong các dạng bài tập và cả cuộc sống đời thường. Vậy số thực là gì? Số thực là những số nào? Hãy cùng M5s News tìm hiểu và tổng hợp lại kiến thức trong bài viết này nhé!

1. Số thực là gì? Ví dụ về số thực

1.1 Số thực là gì? Cho ví dụ

Trong Toán học, Số thực là tập hợp các số tự nhiên (N), số nguyên Z, số 0, số hữu tỉ (Q) và số vô tỉ (I).

Kí hiệu của tập số thực là R.

Trong tiếng Anh số thực được gọi là Real Numbers.

Ví dụ: Ta có các số nguyên dương và nguyên âm (1, 2, 3, -1, -2, -3,…) , số hữu tỉ (¾; -5/2), số vô tỉ (số pi, số căn bậc 2),… đều là các số thực vì chúng có thể được biểu diễn trên trục số thẳng dài vô hạn.

Sau khi đã tìm hiểu số thực là gì vậy bạn có thắc mắc số thực có nguồn gốc từ đâu hay không? Tính từ “thực” được nhà toán học người Pháp René Descartes giới thiệu vào thế kỷ 17, với mục đích phân biệt giữa nghiệm thực và nghiệm ảo của đa thức. Tiếp bước những kiến thức đó, vào năm 1871, nhà toán học Georg Cantor đã đưa ra định nghĩa chính xác nhất về số thực và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Số thực được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực chẳng hạn như khoa học, kinh tế và kỹ thuật, cụ thể là:

• Trong khoa học vật lý: chúng biểu hiện các đại lượng vật lý như khối lượng, tốc độ và năng lượng.
• Trong kinh tế: mô tả các giá trị tiền tệ và tỷ giá hối đoái cũng như các chỉ số kinh tế như GDP và tỷ lệ thất nghiệp.
• Trong kỹ thuật: thể hiện các đại lượng như áp suất, nhiệt độ và điện áp cũng như để tính toán các thông số kỹ thuật.

>>Xem thêm bài viết liên quan: Số nguyên tố là gì? Bài tập về số nguyên tố kèm lời giải

1.2 Trục số thực là gì?

Trục số thực là một đường thẳng nằm ngang trong đó các số thực là các điểm trên đường thẳng dài vô hạn đó.

Trên trục số thực, số 0 được đặt ở trung tâm của trục số và các số âm và dương được đặt ở hai phía của số 0. Các số sẽ được đánh số trên trục số với các khoảng cách đều nhau để biểu diễn các số cách nhau một khoảng cố định.

1.3 Phân loại số thực

Số thực có thể được chia thành 2 loại đó là số thực dương và số thực âm:

• Số thực dương là gì?

Số thực dương là tập hợp các số thực lớn hơn không (0). Nói cách khác, đây là số mà khi đặt trên trục số sẽ nằm bên phải của số 0.

Ví dụ: các số 2, 3, 10/3, 100,… đều là các số thực dương vì chúng đều nằm bên phải của số 0 trên trục số.

• Số thực âm là gì?

Ngược lại với số thực dương, số thực âm là tập hợp các số thực nhỏ hơn 0. Tức là trên trục số, số thực âm nằm bên trái số 0.

Ví dụ: những số -2, -3, -10/3, -100,… được gọi là các số thực âm vì trên trục số thẳng chúng đều nằm bên trái của số 0.

3. Số thực là những số nào?

Số thực là một tập hợp bao gồm tất cả các số nên nó còn được gọi là tập hợp vô hạn. Vậy tập hợp số thực là gì? Tập hợp số thực là bao gồm tất cả các số kể cả số vô tỉ và số hữu tỉ, được kí hiệu là R.

Quan hệ của các tập hợp số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R và I ⊂ RCụ thể hơn số thực bao gồm các chữ số sau:

• Số tự nhiên( N ): gồm các số tự nhiên không âm 0, 1, 2, 3,….
• Số nguyên (Z): là tập hợp vô hạn đếm được bao gồm số 0, các số nguyên dương và số nguyên âm. Ví dụ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3….
• Số hữu tỉ (Q): gồm tất cả các số nguyên, số thập phân và các phân số có thể được biểu diễn dưới dạng a/b mà trong đó a và b đều là các số nguyên (Z) và b khác 0. Ví dụ: 2/3, -5/4, 3.14,…
• Số vô tỉ (I): pi (π), căn bậc hai của 2 (√2), số e…

4. Tính chất và thuộc tính của số thực

Tính chất:

• Tổng hay hiệu của các số thực là một số thực, tức là khi cộng hoặc trừ hai số thực bất kỳ, kết quả thu được sẽ là một số thực.
• Tương tự, tích và thương của các số thực là một số thực: Cũng như khi thực hiện phép tính tổng và hiệu, khi ta nhân hoặc chia hai số thực khác không, kết quả cũng sẽ là một số thực.
• Giữa hai số thực bất kì, luôn tồn tại một tập hợp con nằm giữa chúng.
• Số thực được biểu thị bằng các biểu diễn thập phân
• Đối xứng qua trục số 0: Cụ thể là, nếu một số thực là x, số đối xứng của nó qua trục số 0 là -x.

Thuộc tính:

Số thực có 2 thuộc tính cơ bản:

• Trường có thứ tự: có nghĩa là ta có thể so sánh hai số thực với nhau dựa trên thứ tự của chúng trên trục số thực. Thuộc tính này được gọi là tính chất so sánh hay tính chất thứ tự của số thực.
• Cận trên thấp nhất: Nếu một số thực có cận trên thì cận trên thấp nhất của nó là số thực nhỏ nhất mà lớn hơn hoặc bằng tất cả các phần tử trong tập hợp đó.

Ví dụ: tập hợp {1, 2, 3} có cận trên là 4, vì không có phần tử nào trong tập hợp đó lớn hơn 4. Cận trên thấp nhất của tập hợp này là 4.

5. Các dạng toán thường gặp về số thực (có lời giải)

Dạng 1: Tập hợp số

Phương pháp giải:

Ở dạng bài này ta cần nắm vững kiến thức về các định nghĩa, kí hiệu và tính chất của mỗi tập hợp số khác nhau:

• N: thuộc tập hợp các số tự nhiên
• Z: là tập hợp các số nguyên
• Q: là tập hợp các số hữu tỉ
• I: tập hợp các số vô tỉ
• R: thuộc tập hợp các số thực.

Ngoài ra, bạn nên lưu ý mối quan hệ giữa các tập hợp số với nhau.

Bài tập ví dụ:

Xem thêm : Đối thủ cạnh tranh trực tiếp và gián tiếp là gì?

Điền dấu ∈, ∉, ⊂ thích hợp vào chỗ trống (…):

5 …. Q ; -5 …. R ; 7… I ; -2,75… Q ;

0,3(45) …. I ; N …. Z ; I …. R.

Hướng dẫn giải:

1) 5 ∈ Q ; -5 ∈ R ; 7 ∉ I ; -2,75 ∈ Q ;

2) 0,3(45) ∉ I ; N ∈ Z ; I ⊂ R.

Dạng 2: Tìm số chưa biết trong đẳng thức

Phương pháp giải:

Để làm bài tập về dạng toán tìm số chưa biết trong đẳng thức, bạn có thể tham khảo các bước sau đây:

• Bước 1: Thực hiện các quy tắc chuyển vế và phá ngoặc, từ đó đưa tất cả các số chưa biết về một phía của đẳng thức và các số đã biết sang phía còn lại.
• Bước 2: Áp dụng các tính chất của phép tính để đơn giản hoá biểu thức
• Bước 3: Sau đó, kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách thay giá trị tìm được vào đẳng thức ban đầu để xác nhận đáp án phù hợp

Bài tập ví dụ:

Ví dụ 1: Cho biểu thức 2X + 5 = 11. Tìm giá trị của X.

Giải:

Ta có 2X + 5 = 11

=> 2X = 11 – 5 = 6.

=> X = 6/2 = 3.

Vậy giá trị của X là 3

Ví dụ 2: Cho biểu thức X/3 + 2 = 5. Hãy tìm giá trị của X.

Giải:

Ta có X/3 + 2 = 5

=> X/3 = 5 – 2 = 3

=> X = 3 x 3 = 9.

Vậy giá trị của X là 9

Ví dụ 3: Với hàm số f(x) = 2x – 1. Nếu f(x) = 5 thì giá trị của x?

Giải:

Ta có f(x) = 2x – 1 = 5

=> 2x = 5 + 1 = 6.

=> x = 6/2 = 3.

Vậy giá trị của x là 3

Ví dụ 4: Ở biểu thức (X^2 + 4X + 4)/(X + 2) = 3. Hãy tìm giá trị của X?

Giải:

Xem thêm : ​ Con gái có nên học ngành công nghệ thực phẩm không? Tại sao nên theo đuổi ngành học này? ​

Ta có (X^2 + 4X + 4)/(X + 2) = 3

=> X^2 + 4X + 4 = 3X + 6.

=> X^2 + X – 2 = 0.

⇔ X = -2 hoặc X = 1.

Vì X không thể bằng -2 nên giá trị của X là 1

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải:

Thay giá trị của biến vào biểu thức, sau đó vận dụng các phép toán để tính toán giá trị của nó.

Ở bước này bạn cần lưu ý đến thứ tự thực hiện ( các phép cộng, trừ, nhân, chia và các dấu ngoặc)

Áp dụng các tính chất toán học ( giao hoán, phân phối, kết hợp) dedre đơn giản hoá đẳng thức được cho, từ đó tìm được kết quả cuối cùng

Bài tập ví dụ:

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức a + b – c khi a = 3.5, b = 2.2 và c = 1.3:

Giải:

Thay a = 3.5, b = 2.2 và c = 1.3 vào biểu thức

Ta có a + b – c= 3.5 + 2.2 – 1.3 = 4.4

Ví dụ 2: Cho biểu thức sin(x) + cos(x) khi x = 45 độ, giá trị của biểu thức:

Giải:

Thay x = 45 độ vào biểu thức, ta có:

sin(45) + cos(45) = 0.7071 + 0.7071 = 1.4142

Ví dụ 3: Với biểu thức a^2 – b^2. Cho biết a = 4.5 và b = 3.2, tìm giá trị của biểu thức

Giải:

Thay a = 4.5 và b = 3.2 vào biểu thức a^2 – b^2

Ta có:

a^2 – b^2 = 4.5^2 – 3.2^2

= 20.25 – 10.24 = 9.61.

6. Sự khác nhau giữa số thực và số nguyên

Số nguyên là loại số không thập phân, có giá trị là số nguyên dương hoặc âm và không có phần thập phân hoặc phần lẻ.

Ví dụ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…

Trong khi đó, số thực bao gồm cả phần nguyên và phần thập phân, nó có thể là số dương, âm hoặc không dấu.

Ví dụ: -3.5, -2.25, 0.75, 1.2, 3.1416…

Vì số thực có thêm phần thập phân nên có thể cho phép chúng ta biểu diễn và tính toán với các giá trị rất chính xác. Trong khi đó, số nguyên thì có giới hạn về độ lớn của giá trị và không thể biểu diễn được các giá trị nhỏ hơn 1 hoặc các giá trị thập phân.

Tổng kết lại, việc hiểu rõ về số thực là gì rất quan trọng để có thể vận dụng nó một cách hiệu quả trong lý thuyết lẫn thực tế. M5s News hy vọng qua bài viết giúp các bạn có thể tổng hợp và củng cố lại kiến thức thật đầy đủ nhé!

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp