Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm dương, âm, trái dấu

Mời các em xem lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Các em nhớ nhấn SUBCRIBE (ĐĂNG KÍ) trong youtube để nhận thông báo khi có video bài học mới nhé!

Cho phương trình (ax^2+bx+c=0) với (ane0.)

Hệ thức Vi-ét:

Nếu phương trình có hai nghiệm (x_1, x_2) thì [begin{cases}S=x_1+x_2=-dfrac{b}{a} P=x_1.x_2=dfrac{c}{a}end{cases}]

(ta có thể dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để chứng minh hệ thức này)

Điều kiện để có nghiệm dương, âm, trái dấu

  • Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu: [x_1x_20), bởi vì khi (ac0)). Chú ý, ta có thể dùng (P
  • Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: [00S>0P>0end{cases}]
  • Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt: [x_10S0end{cases}]
  • Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu : [Leftrightarrowbegin{cases}Delta>0P>0end{cases}]

Nếu chỉ yêu cầu hai nghiệm mà không cần phân biệt thì ta thay bằng (Delta ge 0).

Ví dụ 1. Tìm (m) để phương trình (x^2-5mx-3m+2=0) có hai nghiệm trái dấu.

Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi (1.(-3m+2)dfrac{2}{3}.)

Ví dụ 2. Tìm (m) để phương trình (x^2-x+2(m-1)=0) có hai nghiệm dương phân biệt.

Giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi (begin{cases} Delta > 0 S>0 P>0end{cases} Leftrightarrow begin{cases}1-8(m-1)>0 1>0 2(m-1)>0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases}m1end{cases} Leftrightarrow 1

Ví dụ 3. Tìm (m) để phương trình (4x^2+2x+m-1=0) có hai nghiệm âm phân biệt. Giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi (begin{cases} Delta’ > 0 S0end{cases} Leftrightarrow begin{cases}1-4(m-1)>0 -dfrac{2}{4}0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases}m1end{cases} Leftrightarrow 1

Ví dụ 4. Tìm (m) để phương trình ((m^2+1)x-2(m+1)x+2m-1=0) có hai nghiệm trái dấu. Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi (a.c0 ; forall m)). (Leftrightarrow m

Các khác: Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi (P0 ; forall m)). (Leftrightarrow m