1. Thế nào là tứ giác nội tiếp?
Tứ giác nội tiếp trong đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh thuộc đường tròn.
Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Bạn đang xem: Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Toán lớp 9
Trong hình vẽ trên, tứ giác ABCD nội tiếp (I) và (I) ngoại tiếp tứ giác ABCD.
2. Tính chất của tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp có tổng số đo hai góc đối đỉnh bằng 180°
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp trong một đường tròn.
3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Tứ giác có tổng các góc đối bằng 180°
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (có thể xác định được). Điểm này là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a
* Lưu ý: Trong các hình đã học, hình chữ nhật, hình vuông và hình thang cân nội tiếp được trong đường tròn. Ví dụ: Cho tam giác ABC, hai đường cao BB’, CC’. Chứng minh rằng tứ giác BCB’C’ nội tiếp. Trả lời
Cách 1. Chứng minh 4 điểm cách đều một điểm
Gọi O là trung điểm của BC. Xét tam giác BB’C = 90° (giả thiết)
OB’ là đường trung bình của cạnh huyền
=> OB’ = OB = OC = r (1)
Xét tam giác BC’C có:
góc BC’C = 90 (gt)
như trên => OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) => B, C’, B’, C € (O,r)
=> Tứ giác BC’B’C nội tiếp trong đường tròn
Cách 2. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại từ cùng một góc là tứ giác nội tiếp.
Ta có: BB’ vuông góc AC (gt) => góc BB’C = 90°
CC’ vuông góc Ab (gt) => góc BC’C = 90°
=> B’, C’ cùng vuông góc nhìn cạnh BC
=> B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
Cho tứ giác BC’B’C nội tiếp trong đường tròn đường kính BC
4. Bài tập
4.1. Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
– Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng các góc đối bằng 180°
– Cách 2. Chứng minh rằng một tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại một góc a
– Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
– Cách 4. Tìm điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác
Bài tập 1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng tỏ các tứ giác AMHN và BNMC là các tứ giác nội tiếp. Trả lời
Xét tứ giác AMHN có:
góc AMH góc ANH = 90° 90° 180° => tứ giác AMHN nội tiếp (điều phải chứng minh)
Xem thêm : Lòng đỏ trứng gà + mật ong = tăng cân?
Xét tứ giác BNMC có:
góc BNC = góc BMC = 90° => tứ giác BNMC nội tiếp (điều phải chứng minh)
Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là trung điểm của cung AB. Nối M với D, M với C và cắt AB lần lượt tại E, P. Chứng minh rằng PEDC là tứ giác nội tiếp. Trả lời
Ta có: góc AED = 1/2 (đoạn AD và cung MB)
= 1/2 mét vuông DM = góc MCD
=> Góc DEP góc PCD = 180°
=> tứ giác PECD nội tiếp
Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD xss=xóa xss=xóa xss=xóa xss=xóa xss=xóa> ICBA là hình bình hành => BC = AI (1)
Tương tự, AD = IB (2)
ABCD là hình thang có góc C = góc D = 60° nên ABCD là hình thang cân (3)
Từ (1) và (2) (3) ta có hai tam giác ICb; IAD đều hay IA = IB = IC = ID hay bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên đường tròn, vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp. Trả lời
Ta có: góc MIC = góc CHM = 90°
=> tứ giác MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhau thì cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông)
Bài 5. Xét nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, bán kính Ax và tiếp tuyến Ax thuộc cùng một phía của nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp tuyến). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D#B)
MỘT. Chứng minh: AMCO và FMEA là các tứ giác nội tiếp trong một đường tròn
- Chứng minh rằng MBCD là tứ giác nội tiếp
Trả lời
Vì MA và MC tiếp tuyến nên góc MAO = góc MCO = 90°
Tứ giác AMCO có
Góc MCO Góc MCO = 180°
=> tứ giác AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO
Ta có: góc ABD = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => góc ADM = 90 (1)
Xin nhắc lại: OA = OC = RẺ
MA = MC (tính chất tiếp tuyến)
=> OM là trung trực của AC
=> Góc AEM = 90 (2)
Từ (1) và (2) => góc ADM = góc AEM = 90
Tứ giác FMEA có hai đỉnh kề nhau là A và E, nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi.
Vậy tứ giác AMDE nội tiếp trong đường tròn đường kính MA.
4.2. Dạng 2. Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng… Phương pháp giải: sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp
Bài 1. Xét đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:
MỘT. tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp
- AD2 = AH. A B
so với Tam giác ACE là tam giác cân.
Trả lời
MỘT. Có góc AKC góc CHA = 180
Xem thêm : Mục tiêu là gì? Phân biệt giữa mục tiêu và mục đích
=> tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp (ĐHNB)
- Tam giác ADB vuông tại D, có đường cao DH => AD2 = AH . A B
so với Góc EAC = góc EDC = 1/2 EC, góc EAC = góc KHC (tứ giác AKCH nội tiếp)
=> Góc EDC = góc KHC => DF // HK (H là trung điểm của DC nên K là trung điểm của FC)
=> PCM
Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai là C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) tại điểm thứ hai là E, F. a. Chứng minh rằng ba đường thẳng AB, CE, DF đồng quy tại I
- Chứng minh rằng tứ giác BEIF nội tiếp trong một đường tròn
Trả lời
MỘT. Ta có: góc ABC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
góc ABF = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B, C, F thẳng hàng. AB, CE, DF là các đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy. b. Vì góc IEF = góc IBM = 90° => tứ giác BEIF nội tiếp trong đường tròn
Bài tập 3. Xét nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm M trên đoạn thẳng OA, điểm N trên nửa đường tròn (O). Từ A, B kẻ các tiếp tuyến Ax, By. Đường thẳng đi qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By lần lượt tại C, D. a. Chứng minh: ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp trong một đường tròn
- Chứng minh rằng tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD. Suy ra IMKN là tứ giác nội tiếp. Trả lời
MỘT. Ta có: tứ giác ACNM có:
góc MNC = 90° (tính chất tiếp tuyến)
=> góc MNC góc MAC = 180° => tứ giác ACNM là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính MC. Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp trong đường tròn đường kính MD
- Tam giác ANB và tam giác CMD có:
góc ABN = góc CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)
góc BAN = góc DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp)
=> tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD và#40;g.gand#41;
so với Tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD => góc CMD = góc ANB = 90° (vì góc ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
=> Góc IMK = Góc MỰC = 90° => Góc MỰC Góc IMK = 180°
Vậy tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính IK .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D trên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, E, D, F giống nhau. nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn
Trả lời
Vì DE vuông góc với BC => góc DBE = 90°
Vì E và F đối xứng qua BD nên BD là trung trực của đoạn thẳng EF => BF = BE, DF = DE
Tam giác BFD = tam giác BED (ccc) => góc BFD = góc BED = 90°
Gọi O là trung điểm của BD
Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên AO = 1/2 BD = OB = OD (1)
Tam giác BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên EO = 1/2 BD = OB = OD (2)
Tam giác BFD vuông tại F có tiếp tuyến OF nên FO = 1/2 BD = OB = OD (3)
Từ (1), (2) và (3) => OA = OB = OD = OE = OF
Vậy 5 điểm A, B, E, D, F nằm trên đường tròn tâm O với O là trung điểm BC
>> Tìm hiểu thêm Hình chữ nhật là gì? Đánh dấu hình chữ nhật? Trên đây là bài viết về Thế nào là một tứ giác nội tiếp? Các tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp trong Toán lớp 9 ACC GROUP gửi đến bạn đọc chỉ mang tính chất tham khảo.
5. Mọi người cũng hỏi
Tứ giác nội tiếp là gì?
Trả lời: Tứ giác nội tiếp là một hình tứ giác có thể vẽ một đường tròn nằm hoàn toàn bên trong hình tứ giác đó, sao cho tất cả bốn đỉnh của tứ giác đều nằm trên đường tròn.
Tính chất chung của các đường nối đỉnh trong tứ giác nội tiếp là gì?
Trả lời: Các đường nối đỉnh trong tứ giác nội tiếp khi kéo dài đều gặp nhau tại một điểm duy nhất, thường được gọi là trung điểm nội tiếp.
Làm thế nào để xác định một tứ giác có nội tiếp hay không?
Trả lời: Một tứ giác là nội tiếp nếu tổng hai góc đối diện bằng 180 độ. Điều này thường dễ dàng kiểm tra bằng cách sử dụng tổng góc bên trong của tứ giác.
Tứ giác có thể là nội tiếp khi nào?
Trả lời: Tứ giác có thể là nội tiếp khi tổng hai góc đối diện bằng 180 độ. Điều này có thể xảy ra với tứ giác bất kỳ, bao gồm cả các tứ giác bất đều.
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp