Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm dương, âm, trái dấu

Mời các em xem lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Các em nhớ nhấn SUBCRIBE (ĐĂNG KÍ) trong youtube để nhận thông báo khi có video bài học mới nhé!

Bạn đang xem: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm dương, âm, trái dấu

Cho phương trình (ax^2+bx+c=0) với (ane0.)

Hệ thức Vi-ét:

Nếu phương trình có hai nghiệm (x_1, x_2) thì [begin{cases}S=x_1+x_2=-dfrac{b}{a} P=x_1.x_2=dfrac{c}{a}end{cases}]

Xem thêm : Danh sách học phí ngành y tế công cộng tại các trường đại học

(ta có thể dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để chứng minh hệ thức này)

Điều kiện để có nghiệm dương, âm, trái dấu

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu: [x_1x_2<0Leftrightarrow ac<0] (không cần điều kiện (Delta >0), bởi vì khi (ac<0) thì (b^2-4ac>0)). Chú ý, ta có thể dùng (P<0 Leftrightarrow dfrac{c}{a}<0.) Nhớ rằng (dfrac{c}{a}<0 Leftrightarrow a.c<0.)
• Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: [0<x_1<x_2Leftrightarrowbegin{cases}Delta>0S>0P>0end{cases}]
• Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt: [x_1<x_2<0Leftrightarrowbegin{cases}Delta>0S<0P>0end{cases}]
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu : [Leftrightarrowbegin{cases}Delta>0P>0end{cases}]

Nếu chỉ yêu cầu hai nghiệm mà không cần phân biệt thì ta thay bằng (Delta ge 0).

Ví dụ 1. Tìm (m) để phương trình (x^2-5mx-3m+2=0) có hai nghiệm trái dấu.

Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi (1.(-3m+2)<0 Leftrightarrow m>dfrac{2}{3}.)

Xem thêm : Hiện tượng cảm ứng điện từ chi tiết Vật Lý 9

Ví dụ 2. Tìm (m) để phương trình (x^2-x+2(m-1)=0) có hai nghiệm dương phân biệt.

Giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi (begin{cases} Delta > 0 S>0 P>0end{cases} Leftrightarrow begin{cases}1-8(m-1)>0 1>0 2(m-1)>0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases}m<dfrac{9}{8} m>1end{cases} Leftrightarrow 1<m<dfrac{9}{8}.)

Ví dụ 3. Tìm (m) để phương trình (4x^2+2x+m-1=0) có hai nghiệm âm phân biệt. Giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi (begin{cases} Delta’ > 0 S<0 P>0end{cases} Leftrightarrow begin{cases}1-4(m-1)>0 -dfrac{2}{4}<0 dfrac{m-1}{4}>0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases}m<dfrac{5}{4} m>1end{cases} Leftrightarrow 1<m<dfrac{5}{4}.)

Ví dụ 4. Tìm (m) để phương trình ((m^2+1)x-2(m+1)x+2m-1=0) có hai nghiệm trái dấu. Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi (a.c<0) ((m^2+1)(2m-1)<0 Leftrightarrow 2m-1<0) (vì (m^2+1>0 ; forall m)). (Leftrightarrow m<dfrac{1}{2})

Các khác: Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi (P<0 Leftrightarrow dfrac{2m-1}{m^2+1}<0 Leftrightarrow 2m-1<0) (vì (m^2+1>0 ; forall m)). (Leftrightarrow m<dfrac{1}{2}.)

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp