Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm dương, âm, trái dấu

Mời các em xem lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Các em nhớ nhấn SUBCRIBE (ĐĂNG KÍ) trong youtube để nhận thông báo khi có video bài học mới nhé!

Bạn đang xem: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm dương, âm, trái dấu

Cho phương trình (ax^2+bx+c=0) với (ane0.)

Hệ thức Vi-ét:

Nếu phương trình có hai nghiệm (x_1, x_2) thì [begin{cases}S=x_1+x_2=-dfrac{b}{a} P=x_1.x_2=dfrac{c}{a}end{cases}]

Xem thêm : Sữa Vinamilk Optimum Gold 1 400g cho bé 0M-6M

(ta có thể dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để chứng minh hệ thức này)

Điều kiện để có nghiệm dương, âm, trái dấu

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu: [x_1x_2<0Leftrightarrow ac<0] (không cần điều kiện (Delta >0), bởi vì khi (ac<0) thì (b^2-4ac>0)). Chú ý, ta có thể dùng (P<0 Leftrightarrow dfrac{c}{a}<0.) Nhớ rằng (dfrac{c}{a}<0 Leftrightarrow a.c<0.)
• Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: [0<x_1<x_2Leftrightarrowbegin{cases}Delta>0S>0P>0end{cases}]
• Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt: [x_1<x_2<0Leftrightarrowbegin{cases}Delta>0S<0P>0end{cases}]
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu : [Leftrightarrowbegin{cases}Delta>0P>0end{cases}]

Nếu chỉ yêu cầu hai nghiệm mà không cần phân biệt thì ta thay bằng (Delta ge 0).

Ví dụ 1. Tìm (m) để phương trình (x^2-5mx-3m+2=0) có hai nghiệm trái dấu.

Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi (1.(-3m+2)<0 Leftrightarrow m>dfrac{2}{3}.)

Xem thêm : Những điều cần biết về hình thức sang ngang thẻ tín dụng

Ví dụ 2. Tìm (m) để phương trình (x^2-x+2(m-1)=0) có hai nghiệm dương phân biệt.

Giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi (begin{cases} Delta > 0 S>0 P>0end{cases} Leftrightarrow begin{cases}1-8(m-1)>0 1>0 2(m-1)>0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases}m<dfrac{9}{8} m>1end{cases} Leftrightarrow 1<m<dfrac{9}{8}.)

Ví dụ 3. Tìm (m) để phương trình (4x^2+2x+m-1=0) có hai nghiệm âm phân biệt. Giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi (begin{cases} Delta’ > 0 S<0 P>0end{cases} Leftrightarrow begin{cases}1-4(m-1)>0 -dfrac{2}{4}<0 dfrac{m-1}{4}>0end{cases}) (Leftrightarrow begin{cases}m<dfrac{5}{4} m>1end{cases} Leftrightarrow 1<m<dfrac{5}{4}.)

Ví dụ 4. Tìm (m) để phương trình ((m^2+1)x-2(m+1)x+2m-1=0) có hai nghiệm trái dấu. Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi (a.c<0) ((m^2+1)(2m-1)<0 Leftrightarrow 2m-1<0) (vì (m^2+1>0 ; forall m)). (Leftrightarrow m<dfrac{1}{2})

Các khác: Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi (P<0 Leftrightarrow dfrac{2m-1}{m^2+1}<0 Leftrightarrow 2m-1<0) (vì (m^2+1>0 ; forall m)). (Leftrightarrow m<dfrac{1}{2}.)

Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp