1. Cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân). Có nghĩa là:
là cấp số nhân với với Bạn đang xem: Cấp Số Nhân Là Gì? Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Nhân Và Bài Tập
Ví dụ: Dãy số 
, với 
là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội q = 3.2. Công bội q
q là công bội của cấp số nhân un có
Công bội
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân . Tính công bội q
Ta có:
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân . Tính công bội q
Ta có:
3. Tính chất cấp số nhân
$(u_{n})$ là một cấp số nhân thì từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng sau nó.
Nếu một cấp số nhân un có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un sẽ được tính bởi công thức:
Ví dụ : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0.
Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy tìm u4
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Ta có: u22 = u1 . u3 = 3
u32 = u2 . u4
Từ (1) do u2 > 0 ( vì u1=1 > 0 và q > 0)
Khi q = 0 thì dãy có dạng u1; 0;0…;0;… và Sn=u1
Khi q = 1 thì dãy có dạng u1;u1;u1;…;u1;… và Sn=nu1.
Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0;…; 0;… và Sn=u1.
4. Tổng hợp các công thức tính cấp số nhân cơ bản
4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN
Phương pháp:
Tính
Kết luận:
Nếu q là không đổi thì dãy un là cấp số nhân
Nếu q thay đổi thì dãy un không là cấp số nhân
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng đầu tiên.
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Ta có 6 số hạng đầu tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64
Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un có số hạng thứ hai là 10 và số hạng thứ năm là 1250.
Tìm số hạng thứ nhất
Viết 5 số hạng đầu tiên
Lời giải:
Đặt r là công bội của cấp số nhân.
Ta có: r(5-2) = r3 hay r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ đó r = 5.
u1=10=5=2.
Số hạng thứ nhất là 2
2, 10, 50, 1250, 6250
Ví dụ 3: Bài cho cấp số nhân Un thỏa mãn: . Dãy số Un trên là cấp số nhân đúng hay sai?
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Ta có: không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số (Un) là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội là
4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân Un có U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.
Từ công thức ta có:
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân Un có U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Từ công thức ta có:
Ví dụ 3: Đề cho ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội q.
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Đặt q là công bội của cấp số nhân trên
Các số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng
4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân
Phương pháp:
Để tìm số hạng của cấp số nhân ta sử dụng công thức tính số hạng tổng quát Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.
Ví dụ 1: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Ta biến đổi:
Vậy cấp số nhân (un) có u1 = 12 và q = 2
Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (un) với u3 = 8 , u5 = 32. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó là?
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có
Với q = 2, ta có u10 = u3 . q7 = 8 . 27 = 1024
Với q = -2, ta có u10 = u3 . q7= 8 . (-2)7 = -1024
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un), biết rằng số hạng đầu tiên u1 = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Áp dụng công thức ta có : un = u1 . qn-1
u5 = u1 . q4 =3 . 24 = 48
4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy
Ta sử dụng công thức:
Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân:
S = 2 + 6 + 18 + 13122
Lời giải:
(un) có u1=2 và q = 3.
Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (un) với
5 số hạng đầu của cấp số nhân trên là gì?
10 số hạng đầu của cấp số nhân (un) trên có tổng là bao nhiêu?
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân Un thỏa mãn:
Dãy số là cấp số nhân là đúng hay sai?
Tính S = u2 + u4 + u6… + u20
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Ta có: không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số (Un) là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội là
Dãy số: u2, u4, u6,…, u20 lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là u2 = 9, q = 3
4.5. Dạng 5: Tìm CSN
Phương pháp:
Xác định các thành phần cấu tạo nên một cấp số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q sau đó suy ra được công thức cho số hạng tổng quát .
Ví dụ 1: CSN (un) như sau, tìm u1 khi:
Mà
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Ta có q = 3 hoặc
Khi đó lần lượt hoặc
Ví dụ 2: Dãy số nào là cấp số nhân:
1;0,2;0,04;0,008;…
1,22,222,2222,…
X,2x,3x,4x,…
2,3,5,7,…
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Xét đáp án A ta có:
u1 = 1, u2 = u1 . 0,2, u3 = u1 . (0,2)2, u4 = u1 . (0,2)3
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được un = (0,2)n
Khi đó không đổi
Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội q = 0,2
Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Gọi cấp số nhân (un) cần tìm có công bội q, số hạng đầu tiên un.
Ta có:
s5′ = u2 + u3 + u4 + u5 + u6
= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q
= q . (u1 + u2 + u3 + u4 + u5)
= q . S5
Mà S5 = 31; S5′ = 62
Vậy cấp số nhân (un) là 1;2;4;8;16;32
Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!!!
5. Cấp số nhân lùi vô hạn
5.1. Định nghĩa
Nếu cấp số nhân (un) có công bội q thỏa mãn -1 < q <1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.
Sn = u1(1 – qn)(1 – q) = u1(qn – 1)(q – 1)
Trong đó sn là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un)
Ví dụ: là một cấp số nhân lùi vô hạn
5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn
Đề bài cho cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=frac{u_{1}}{1-q}$
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính tổng
Lời giải:
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với nên
Ví dụ 2: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng số
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Ta có:
Vậy
Ví dụ 3: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là . Xác định (u1), q của cấp số đó?
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
6. Một số bài tập cấp số nhân và phương pháp giải chi tiết
Câu 1: Cho cấp số nhân un có công bội q
a) Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q
b) Biết , . Tính u1
c) Biết u1 = 3, q = -2. Xác định số 192 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân?
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Áp dụng công thức un = u1.qn-1
a) Theo công thức trên ta có: u6 = u1.q5
b) Theo công thức ta có: u4 = u1.q3
c) Theo công thức ta có:
Vậy số 192 là số hạng thứ 7
Câu 2: Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) biết cấp số nhân gồm có 5 số hạng và:
a) TH1: u3 = 3 , u5 = 27
b) TH2: u4 – u2 = 25 , u3 – u1 = 50
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
a) Theo công thức un = u1.qn – 1 ta có lần lượt các số hạng u3 và u5 được tính như sau:
u3 = u1.q2 3 = u1.q2 (1)
u5 = u1.q4 27 = u1.q4 (2)
Từ (1) và (2) ta có thể suy ra được
Xét trường hợp:
Với q = 3 ta có ta có cấp số nhân lần lượt là:
Với q = -3 ta có ta có cấp số nhân lần lượt là:
b) Theo đề bài ra ta có:
Thay (2) vào phương trình (1) ta có 50.q = 25
Vậy ta có cấp số nhân như sau:
Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62
Lời giải:
Tổng của 5 số hạng đầu bằng 31, từ đó ta suy ra:
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31
u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q
u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (1)
mà tổng của 5 số hạng sau bằng 62 từ đố suy ra
u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q = 62
vậy q = 2
Vì S5 = 31 =
Vậy ta có cấp số nhân theo đề bài là: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng tại thời điểm khảo sát số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người, hỏi với mức tăng lương như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân số của tỉnh đó là?
Lời giải:
Gọi số dân của tỉnh đó hiện tại là N
Sau một năm dân số tăng là 1,4%N
Vậy năm sau, số dân của tỉnh đó là n + 1,4%N = 101,4%N
Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; …
Giả sử N=1,8 triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân)
Và sau 10 năm sẽ là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)
Ví dụ 5: Đề bài cho un có các số hạng 0, tìm u1 biết:
. Mà
Xem thêm : Top 11 hãng túi hiệu giá bình dân NỔI TIẾNG được săn đón
Lời giải:
Tham khảo ngay một số dạng bài tập thương gặp về cấp số nhân được các thầy cô VUIHOC tổng hợp
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng công thức cấp số nhân. Mong rằng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học để học và ôn tập kiến thức Toán 11 phục vụ ôn thi THPT QG ngay từ hôm nay nhé!
>> Xem thêm:
- Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân & bài tập
- Cấp số cộng là gì? Công thức cấp số cộng và bài tập
- Xác suất của biến cố
- Giới hạn của dãy số
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp