Bài viết này Vted trình bày cho các em một công thức xác định nhanh toạ độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trong bài toán Hình giải tích không gian Oxyz.
Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây:
Bạn đang xem: Xem tài liệu
[BC.overrightarrow {IA} + CA.overrightarrow {IB} + AB.overrightarrow {IC} = overrightarrow 0 (*)]
Chứng minh đẳng thức này bạn đọc xem tại đây: https://www.vted.vn/tin-tuc/dang-thuc-vecto-lien-quan-den-tam-noi-tiep-tam-giac-4823.html
Ta đã biết điểm $I$ thoả mãn đẳng thức véctơ:
${{a}_{1}}overrightarrow{I{{A}_{1}}}+{{a}_{2}}overrightarrow{I{{A}_{2}}}+…+{{a}_{n}}overrightarrow{I{{A}_{n}}}=overrightarrow{0},left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}ne 0 right)$
được xác định theo công thức: $left{ begin{gathered} {x_I} = dfrac{{{a_1}{x_{{A_1}}} + {a_2}{x_{{A_2}}} + … + {a_n}{x_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}} hfill \ {y_I} = dfrac{{{a_1}{y_{{A_1}}} + {a_2}{y_{{A_2}}} + … + {a_n}{y_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}} hfill \ {z_I} = dfrac{{{a_1}{z_{{A_1}}} + {a_2}{z_{{A_2}}} + … + {a_n}{z_{{A_n}}}}}{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}} hfill \ end{gathered} right.$
Áp dụng vào bài toán với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ thoả mãn đẳng thức (*) ta có:
[left{ begin{gathered} {x_I} = dfrac{{BC.{x_A} + CA.{x_B} + AB.{x_C}}}{{BC + CA + AB}} hfill \ {y_I} = dfrac{{BC.{y_A} + CA.{y_B} + AB.{y_C}}}{{BC + CA + AB}} hfill \ {z_I} = dfrac{{BC.{z_A} + CA.{z_B} + AB.{z_C}}}{{BC + CA + AB}} hfill \ end{gathered} right..]
Tổng hợp Công thức giải nhanh hình toạ độ không gian Oxyz
Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với toạ độ các đỉnh $A(1;1;1),B(4;1;1),C(1;1;5).$ Tìm toạ độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$
A. $I(-2;-1;-2).$
B. $I(2;-1;2).$
C. $I(2;1;2).$
D. $I(1;2;2).$
Giải. Ta có $BC=5, CA=4, AB=3$. Do đó
[left{ begin{gathered} {x_I} = dfrac{{BC.{x_A} + CA.{x_B} + AB.{x_C}}}{{BC + CA + AB}} = dfrac{{5.1 + 4.4 + 3.1}}{{5 + 4 + 3}} = 2 hfill \ {y_I} = dfrac{{BC.{y_A} + CA.{y_B} + AB.{y_C}}}{{BC + CA + AB}} = dfrac{{5.1 + 4.1 + 3.1}}{{5 + 4 + 3}} = 1 hfill \ {z_I} = dfrac{{BC.{z_A} + CA.{z_B} + AB.{z_C}}}{{BC + CA + AB}} = dfrac{{5.1 + 4.1 + 3.5}}{{5 + 4 + 3}} = 2 hfill \ end{gathered} right..]
Vậy $boxed{I(2;1;2){text{ (C)}}}.$
>Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz
Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $Aleft( 2;2;1 right),Bleft( a;b;c right).$ Biết rằng $Ileft( 0;1;1 right)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ và $OB=4,AB=5.$ Giá trị của $a+b+c$ bằng
Xem thêm : Tỷ lệ trứng và sữa khi làm bánh Flan bạn cần biết!
A. $dfrac{4}{3}.$
B. $-dfrac{8}{3}.$
C. $-dfrac{4}{3}.$
D. $dfrac{8}{3}.$
Giải. Ta có $OB.overrightarrow{IA}+OA.overrightarrow{IB}+AB.overrightarrow{IO}=overrightarrow{0}Leftrightarrow 4overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB}+5overrightarrow{IO}=overrightarrow{0}$
$Rightarrow {{x}_{I}}=dfrac{4{{x}_{A}}+3{{x}_{B}}+5{{x}_{O}}}{4+3+5}Rightarrow {{x}_{B}}=dfrac{12{{x}_{I}}-left( 5{{x}_{O}}+4{{x}_{A}} right)}{3}=-dfrac{8}{3}$
Tương tự ${{y}_{B}}=dfrac{12{{y}_{I}}-left( 5{{y}_{O}}+4{{y}_{A}} right)}{3}=dfrac{4}{3};{{z}_{B}}=dfrac{12{{z}_{I}}-left( 5{{z}_{O}}+4{{z}_{A}} right)}{3}=dfrac{8}{3}Rightarrow a+b+c=dfrac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A(2;2;1),Bleft( -dfrac{8}{3};dfrac{4}{3};dfrac{8}{3} right).$ Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AOB$ và vuông góc với mặt phẳng $(AOB)$ có phương trình là
A. $dfrac{x+1}{1}=dfrac{y-3}{-2}=dfrac{z+1}{2}.$
C. $dfrac{x+dfrac{1}{3}}{1}=dfrac{y-dfrac{5}{3}}{-2}=dfrac{z-dfrac{11}{6}}{2}.$
B. $dfrac{x+1}{1}=dfrac{y-8}{-2}=dfrac{z-4}{2}.$
D. $dfrac{x+dfrac{2}{9}}{1}=dfrac{y-dfrac{2}{9}}{-2}=dfrac{z+dfrac{5}{9}}{2}.$
Giải. Ta có $OA=3,OB=4,AB=5.$ Do đó tâm nội tiếp $I$ của tam giác $AOB$ có toạ độ là
[{{x}_{I}}=dfrac{3{{x}_{B}}+4{{x}_{A}}+5{{x}_{O}}}{3+4+5}=dfrac{-8+8+0}{12}=0]
[{{y}_{I}}=dfrac{3{{y}_{B}}+4{{y}_{A}}+5{{y}_{O}}}{3+4+5}=dfrac{4+8+0}{12}=1]
[{{z}_{I}}=dfrac{3{{z}_{B}}+4{{z}_{A}}+5{{z}_{O}}}{3+4+5}=dfrac{8+4+0}{12}=1]
Véctơ chỉ phương của đường thẳng này là $overrightarrow{u}=left[ overrightarrow{OA},overrightarrow{OB} right]//(1;-2;2).$
Do đó đường thẳng cần tìm là $left{ begin{gathered} x=t hfill \ y=1-2t hfill \ z=1+2t hfill \ end{gathered} right.$ qua điểm $(-1;3;-1).$ Đối chiếu các đáp án chọn A.
Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác thì ta sử dụng Hệ thức lượng trong tam giác của chương trình Toán 10 như sau:
Xem thêm : Su hào – từ món ăn đến vị thuốc
$r=dfrac{S}{p}=dfrac{dfrac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right] right|}{dfrac{AB+BC+CA}{2}}=dfrac{left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right] right|}{AB+BC+CA}.$
Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho $A(2;-1;6),B(-3;-1;-4),C(5;-1;0).$ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng
A. $sqrt{5}$
B. $sqrt{3}$
C. $4sqrt{2}$
D. $2sqrt{5}$
Giải. Ta có $BC=sqrt{{{8}^{2}}+{{4}^{2}}}=4sqrt{5},CA=sqrt{{{3}^{2}}+{{6}^{2}}}=3sqrt{5},AB=sqrt{{{5}^{2}}+{{10}^{2}}}=5sqrt{5}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $C,$ do đó bán kính nội tiếp $r=dfrac{S}{p}=dfrac{CB.CA}{AB+BC+CA}=dfrac{60}{12sqrt{5}}=sqrt{5}.$ Chọn đáp án A.
Tự luyện:
Câu 1. Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $Aleft( -1;0;0 right),Bleft( 5;0;0 right),Cleft( 2;0;4 right).$ Xác định toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$
Đáp án: $Ileft( 2;0;dfrac{3}{2} right),r=dfrac{3}{2}.$
Câu 2: Trong không gian [Oxyz] cho 3 điểm [Aleft( -3;1;0 right)], [Bleft( -6;1;4 right)], [Cleft( -3;13;0 right)]. Bán kính [r] của đường tròn nội tiếp tam giác [ABC] bằng
A. [2.]
B. [dfrac{3}{2}.]
C. [dfrac{5}{2}.]
D. [3.]
Hướng dẫn sử dụng MTCT Casio Fx 580 trong Oxyz
>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp