Trong chương trình hình học lớp 9, chúng ta được học về tứ giác nội tiếp. Một vấn đề được đặt ra là Làm sao để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Trong nội dung bài viết này, chúng tôi sẽ gửi tới Quý độc giả các thông tin về dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Mời Quý vị tham khảo:
- Chiết khấu thanh toán có phải xuất hóa đơn?
- Nguyên nhân dẫn đến cạnh tranh trong sản xuất và lưu thông hàng hóa xuất phát từ đâu?
- Tổng hợp top 30+ phim anime hay 2024 mới nhất mà các Otaku không thể bỏ qua
- Tư vấn nội thất gỗ óc chó thiết kế thi công giá xưởng
- Quan điểm của V.I.Lênin về vật chất trong tác phẩm “chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán”
Trước khi đi vào nội dung về các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, chúng tôi làm rõ tới Quý độc giả thông tin về khái niệm, tính chất, định lý của tứ giác nội tiếp.
Bạn đang xem: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp là gì?
Tứ giác nội tiếp hay tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.
Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp và các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn là đồng viên.
Tính chất của tứ giác nội tiếp là gì?
– Mọi tam giác đều có một đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải mọi tứ giác đều nội tiếp đường tròn.
– Tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh.
– Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối liền 2 đỉnh kia.
– Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà 2 góc cùng nhìn vào cạnh đó.
Định lý vềb tứ giác nội tiếp
– Định lý thuận: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
– Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
5 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp như sau:
1/ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180O
2/ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
3/ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
4/ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới 1 góc α.
5/ Tứ giác đó là một trong các hình sau: hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.
Một số bài tập về tứ giác nội tiếp
Để giúp Quý độc giả hiểu hơn về dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp chúng tôi hướng dẫn giải một số bài tập về tứ giác nội tiếp, cụ thê như sau:
Xem thêm : Lịch âm 31/12 – Âm lịch hôm nay 31/12 chính xác nhất – Lịch vạn niên 31/12/2023
Bài tập 1: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp.
b) HA.HD = HB.HE = HC.HF
Hướng dẫn giải:
a) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90°.
Suy ra tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn có đường kính BC.
b) Gọi O là trung điểm của BC, vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Xét ΔBHF và ΔCHE có:
∠FHB = ∠EHC (đối đỉnh).
∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp cùng chắn).
Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHE
BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1).
Chứng minh tương tự đối với ΔAHE và ΔBHD, ta có: HA.HD = HB.HE (2).
Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF (điều phải chứng minh).
Bài tập 2: Tứ giác ABCD có góc ABC + góc ADC = 180°. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.
Hướng dẫn giải:
Tứ giác ABCD có ∠ABC + ∠ADC=180°.
⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp.
Xem thêm : Bánh ướt bao nhiêu calo? Giảm cân có nên ăn bánh ướt không?
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
⇒ OA = OB = OC = OD = R.
Do OA= OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.
Do OB= OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD.
Do OA= OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.
⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB.
Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.
Bài tập 3: Cho ΔABC cân tại A. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. Kẻ EN vuông góc AC. Gọi M là trung điểm của BC; AM và EN cắt nhau tại F.
a/ Chứng minh các tứ giác MCNF.
b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.
Hướng dẫn giải:
a, Ta có: ∠CMF = ∠CNF = 90°.
Suy ra MCNF là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b, Xét hai tam giác ΔAME và ΔFME có ME là cạnh chung, ∠EMF = ∠EMA = 90°.
Suy ra ΔAME = ΔFME
⇒ AM = MF.
Từ đó có thể suy ra EB là phân giác của góc AEF.
Nguồn: https://luatduonggia.edu.vn
Danh mục: Tổng hợp